前：抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群 后：抽象代数笔记 〇八：置换群与单群 Imago & Nucleus 像与核〔定义〕： 设 $f:G\to H$ 是群之间的映射： $f(G):=\{f(g)\mid g\in G\}$ 称为群 $G$ 在映射 $f$ 下的像（image），即 $G$ 中所有元素经过映射 $f$ 所得结果所成集合，它是 $H$ 的子集．特别地，若 $f$ 为群同态，则称之为同态 $f$ 的像，记为 $\operatorname{Im} f$． 设 $A\...
De Algebra Abstracta 06 // 抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群
前：抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子 后：抽象代数笔记 〇七：同态与同构定理 Succatervae Normales 正规子群〔定义〕： 设 $G$ 为群，$N\leq G$， 若 $\forall\;g\in G,\quad g^{-1}Ng=N$，则称 $N$ 为 $G$ 的正规子群（normal subgroup），记为 $N\unlhd G$． $G$ 的平凡子群 $\{e\}$ 与 $G$ 本身总是 $G$ 的正规子群，称为其平凡正规子群（trivial nor...
De Algebra Abstracta 05 // 抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子
前：抽象代数笔记 〇四：循环群 后：抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群 Conjugatia 共轭〔定义〕： 设 $G$ 为群，$a,\,b\in G$，若 $\exists\;g\in G,\quad g^{-1}ag=b$，则称 $a$ 与 $b$（对于 $g$）共轭（conjugate）(1)，元素 $b=g^{-1}ag$ 称为 $a$ 的共轭元素（conjugate element）．可证这个关系为等价关系： (α) 自反性：$e^{-1}a...
De Algebra Abstracta 04 // 抽象代数笔记 〇四：循环群
前：抽象代数笔记 〇三：子群与陪集 后：抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子 Catervae Cyclicae 循环群〔定义〕： 设 $S$ 是群 $G$ 的子集，$G$ 的所有子群中包含 $S$ 的最小子群 $A$ 称为由 $S$ 生成的子群（the subgroup generated by $S$），记为 $\langle S\rangle$． 若 $A_1,\,A_2\leq G$ 均包含 $S$，则 $A_1\cap A_2$ 也是包含 $S$ 的子群(1)，于...
De Algebra Abstracta 03 // 抽象代数笔记 〇三：子群与陪集
前：抽象代数笔记 〇二：群与同态 后：抽象代数笔记 〇四：循环群 Succatervae 子群〔定义〕： 设 $(H,\,\ast)$ 为半群，$A\subseteq H,\;A\neq\varnothing$，若 $(A,\,\ast)$ 形成半群，则称 $A$ 为 $H$ 的子半群（subsemigroup）．特别地，若 $(A,\;\ast)$ 形成幺半群，则称 $A$ 为 $H$ 的子幺半群（submonoid）． 若 $(A,\,\ast)$ 形成群，则称 $A$ 为 $H$...
De Algebra Abstracta 02 // 抽象代数笔记 〇二：群与同态
前：抽象代数笔记 〇一：集合论 后：抽象代数笔记 〇三：子群与陪集 Catervae & Structurae Algebraicae Similes群及类似的代数结构〔定义〕： 集合 $S$ 与封闭于其上满足结合律的二元运算 $\bullet$ 形成的代数结构称为半群（semigroup），记作 $(S,\,\bullet)$，在明确的情况下略作 $S$． 满足交换律的半群称为交换半群（commutative semigroup）． 二元运算 $\bullet$ 所成表达...
De Algebra Abstracta 01 // 抽象代数笔记 〇一：集合论
Praefatio 前言抽象代数（abstract algebra）是研究代数结构的数学分支，其研究对象主要包括了群（group）、环（ring）、域（field）等．在 18 世纪前后的数学家对高次方程解的研究中，群论逐渐成型．随后，环等等概念也逐渐出现．20 世纪初，对代数结构的研究方法发生了显著改变，而为了区分于古典时期的代数研究，人们也称这一数学领域为近世代数（modern algebra）．群论与环论在此进程中渐渐成为纯数学中的重要部分，并应用于理论物理、理论计算机科学等各种领域...