Catervae & Structurae Algebraicae Similes
群及类似的代数结构
〔定义〕：
集合 $S$ 与封闭于其上满足结合律的二元运算 $\bullet$ 形成的代数结构称为半群（semigroup），记作 $(S,\,\bullet)$，在明确的情况下略作 $S$．
满足交换律的半群称为交换半群（commutative semigroup）．
- 二元运算 $\bullet$ 所成表达式 $x \bullet y$ 常略作 $xy$，大多情况下，将此运算视如“乘法”或“复合”，其结果称作“积”．
〔例〕：
设 $\varSigma$ 是所有非空的有穷（实）数列所成的集合，运算 $s+t$ 表示将数列 $t$ 拼接到数列 $s$ 的末尾，即使得 $t_1$ 成为 $s$ 末项的次一项．可以看出，这一运算封闭于集合 $\varSigma$，不满足交换律而满足结合律，于是 $(\varSigma,\,+)$ 是一个半群，但不是交换半群．
正整数集合 $\mathbb N_+$ 上的加法运算封闭于该集合中，且满足交换律与结合律，$(\mathbb N_+,\,+)$ 是一个交换半群．
〔定义〕：
设 $S$ 为半群，若存在 $e\in S$，使得 $\forall\;x\in S,\quad ex=xe=x$，则称元素 $e$ 为半群的单位元或幺元（identity element）．
含有单位元的半群称为幺半群（monoid），满足交换律者称为交换幺半群（commutative monoid）．
- 每个幺半群都有唯一的单位元（证明见后文），幺半群 $S$ 中的单位元常常记作 $e$，$e_S$，$1_S$或 $1$（注意与实数 $1$ 相区分）．
〔例〕：
在前文的例子中所设的 $\varSigma$ 如果包含空数列，则 $(\varSigma,\,+)$ 是一个非交换的幺半群，空数列是其单位元．
自然数集合 $\mathbb N$ 上的加法运算封闭于该集合中，满足交换律与结合律，并且存在单位元 $0$，使得 $\forall\;a\in\mathbb N,\quad a+0=0+a=a$，$(\mathbb N,\,+)$ 是一个交换幺半群．
〔定义〕：
设 $M$ 为幺半群，若存在 $a\in M$，使得 $\exists\;b\in S,\quad ab=ba=e$，则称 $a$ 为 $b$ 的逆元（inverse element），反之亦然．$a$ 的逆元记作 $a^{-1}$（注意逆元并不一定是 $-1$ 次幂）．
- $a=b^{-1}\;\Leftrightarrow\;b=a^{-1}.$
- $(a^{-1})^{-1}=a.$
〔例〕：
实数与乘法所成的交换幺半群中，$1$ 为单位元，$\dfrac 1n$ 为任一非零实数 $n$ 的逆元，显然有 $\forall\;n\in\mathbb R\setminus\{0\},\quad n\cdot\dfrac 1n=\dfrac 1n\cdot n=1$．
〔定义〕：
设 $G$ 为幺半群，若 $\forall\;a\in G,\;\exists\;b\in G,\quad b=a^{-1}$，则称 $G$ 为群（group）．
满足交换律的群称为交换群（commutative group）或阿贝尔群（abelian group）(1)．
Naturae Catervarum 群的性质
(α) 封闭性（closure）： $\forall\;a,\,b\in G,\quad ab\;\in G$；
(β) 结合性（associativity）： $\forall\;a,\,b,\,c\in G,\quad(ab)c=a(bc)$；
(γ) 存在唯一单位元： $\exists!\;e\in G,\;\forall\;a\in G,\quad ae=ea=a$；(2)
(δ) 存在唯一逆元： $\forall\;a\in G,\;\exists!\;b\in G,\quad ab=ba=e$．
- $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.$
- 可推广为 $(a_1a_2\cdots a_n)^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_2^{-1}a_1^{-1}$．
〔证明单位元唯一〕：
设 $G$ 为群，且假设存在任意两个单位元 $e,\,\epsilon\in G,\;e\neq\epsilon$，于是
$\forall\;x\in G,\quad ex=xe=x$，
从而
$e\epsilon=\epsilon e=\epsilon$， $(1)$
又
$\forall\;x\in G,\quad \epsilon x=x\epsilon =x$，
从而
$\epsilon e=e\epsilon=e$， $(2)$
由 $(1)\,(2)$ 两式，得 $e=\epsilon$，与前提矛盾．(3)
■
〔证明逆元唯一〕：
设 $G$ 为群，且假设对某一元素 $x\in G$ 有两个逆元 $p,\,q\in G,\;p\neq q$，于是
$px=xp=qx=xq=e$，
从而
$p=ep=(qx)p=q(xp)=qe=q$，与前提矛盾．
■
〔定理 2.1〕：
设 $(M,\,\cdot)$ 为幺半群，记其中全体可逆元素所成集合为 $M^\ast$，则 $(M^\ast,\,\cdot)$ 是群．
〔证明〕：
由幺半群性质，显然可知存在单位元 $e\in M^\ast$；
$(M,\,\cdot)$ 与 $(M^\ast,\,\cdot)$ 具有同一运算，因此显然有结合性，并且由于 $M^\ast$ 中任一元素均可逆则显然有封闭性；
由于 $M^\ast$ 中各元素 $a$ 均可逆，其逆元 $a^{-1}$ 必然也属于 $M^\ast$，可知逆元存在性．由此则 $(M^\ast,\,\cdot)$ 是群．
■
〔定义〕：
若 $a,\,b\in\mathbb Z$ 整除以 $n\in\mathbb N_+$ 所得余数相等，则称 $a$ 与 $b$ 模 $n$ 同余 (4)，记作 $a\equiv b\;(\operatorname{mod} n)$，且定义关系：
$a\sim b\;\Leftrightarrow\;a\equiv b\pmod n$，
易证此为等价关系．
记 $i\in\mathbb Z$ 所在等价类为 $\overline i=\{k\in\mathbb Z\mid k\equiv i\;(\operatorname{mod} n)\}$，称为 $i$ 的模 $n$ 同余类（congruence class of $i$ modulo $n$）．于是整数集 $\mathbb Z$ 可分划为 $n$ 个等价类：$\overline 0,\,\overline 1,\,\overline 2,\,\cdots,\,\overline{n-1}$，以 $\mathbb Z_n$ 表示该分划，则可定义其上的加法：
$\overline a+\overline b=\overline{a+b}$，
则 $(\mathbb Z_n,\,+)$ 形成阿贝尔群，其单位元为 $\overline 0$，该群称为整数模 $n$ 加法群（additive group of integers modulo $n$）．
此外，若定义乘法：
$\overline a\cdot\overline b=\overline{ab}$，
则 $(\mathbb Z_n,\,\cdot)$ 形成交换幺半群，其单位元为 $\overline 1$．
- 对于 $a\in \mathbb Z,\;\exists\;b\in\mathbb Z,\quad$$ab\equiv 1\pmod n\;\Leftrightarrow\;\gcd(a,\,n)=1$(5)，由此，$\overline a$ 对于上述乘法可逆当且仅当 $\gcd(a,\;n)=1$．为了简便起见，后文一律将 $\gcd(p,\,q)=1$，即 $p$ 与 $q$ 互质记作 $p\,\bot\,q$．
此处还须证明上述运算定义良好：
设 $a\sim a’,\;b\sim b’$，则 $\overline a=\overline{a’},\;\overline b=\overline{b’}$，
由定义，可以设 $a=kn+\alpha,\;$ $a’=k’n+\alpha,\;$ $b=\ell n+\beta,\;$ $b’=\ell’n+\beta\quad$$(k,\;k’,\;\ell,\;\ell’\in\mathbb Z)$ ，
则 $a+b=(k+\ell)n+(\alpha+\beta)$，即 $a+b\equiv \alpha+\beta\pmod n$，
同理则 $a’+b’=(k’+\ell’)n+(\alpha+\beta)$，即 $a’+b’\equiv \alpha+\beta\;\pmod n$，
由此则 $\overline{a+b}=\overline{a’+b’}$，可知该加法运算定义良好．
又 $ab=k\ell n^2+(\alpha\ell+\beta k)n+\alpha\beta$$=(k\ell n+\alpha\ell+\beta k)n+\alpha\beta$，即 $ab\equiv \alpha\beta\pmod n$，
同理则 $a’b’=k’\ell’n^2+(\alpha\ell’+\beta k’)n+\alpha\beta$$=(k’\ell’n+\alpha\ell’+\beta k’)n+\alpha\beta$，即 $a’b’\equiv\alpha\beta\pmod n$，
由此则 $\overline{ab}=\overline{a’b’}$，可知该乘法运算定义良好．
■
〔定义〕：
全体 $n$ 阶可逆实方阵形成的乘法群，称为 $\mathbb R$ 上的 $n$ 次一般线性群（general linear group），记为 $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ 或 $\mathrm{GL}(n,\;\mathbb R)$. 其单位元为 $n$ 阶单位矩阵 $𝑰$，且对于任意 $𝑴\in \mathrm{GL}_n(\mathbb R)$，均存在逆元 $𝑴^{-1}$ 使得 $𝑴𝑴^{-1}=𝑴^{-1}𝑴=𝑰$．由矩阵乘法的性质可知其结合性，且由于
$\forall\;𝑨,\;𝑩\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R),\quad\det 𝑨\neq0,\;$$\det 𝑩\neq0,\;\det(𝑨𝑩)=\det 𝑨\cdot\det 𝑩\neq0$,
可知恒有 $𝑨𝑩\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$，于是可知其封闭性．
同理亦可定义 $\mathrm{GL}_n(\mathbb C),\,\mathrm{GL}_n(\mathbb Q)$，从略．
〔定义〕：
函数 $\varphi(n)$ 表示不大于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数之数目，即 $\varphi(n)=|\{a\in\mathbb N_+\mid a\leq n,\;a\,\bot\,n\}|$，称为Euler（欧拉）总计函数（Euler’s totient function）或简称 Euler 函数．
设 $n\in\mathbb N_+$，$\overline a$ 为 $a\in\mathbb Z$ 的模 $n$ 同余类，则集合 $\mathbb Z_n^\ast:=\{\overline a\mid a\,\bot\,n\}$ 对于乘法形成阿贝尔群，且 $|\mathbb Z_n^\ast|=\varphi(n)$．这表明与 $n\in\mathbb N_+$ 互质的 $a\in\mathbb Z$ 之同余类共有 $\varphi(n)$ 个．（详见 抽象代数笔记 〇四：循环群 的“Euler 定理”部分．）
Homomorphismi & Isomorphismi 同态与同构
〔定义〕：
设 $(G,\,\bullet),\,(G’,\,\circ)$ 为两个群，当且仅当映射 $f:G\to G’$ 满足
$\forall\;a,\,b\in G,\quad f(a\bullet b)=f(a)\circ f(b)$
或简记作
$f(ab)=f(a)f(b)$，
则称映射 $f$ 为群 $G$ 到群 $G’$ 的同态（homomorphism(6)）．
特别地，若 $f$ 为单射，则称之为单同态（monomorphism(7)）；若 $f$ 为满射，则称之为满同态（epimorphism(8)）；若 $f$ 为双射（即既是单同态也是满同态），则称之为同构（isomorphism(9)）．
若群 $G$ 到群 $G’$ 存在任一同构 $f:G\to G’$，则称 $G$ 与 $G’$ 同构（isomorphic）(10)，记为 $G\cong G’$ 或 $f: G\overset{\Large\sim}{\to}G’$．
若群 $G,\;G’$ 同构，则同构映射 $f:G\overset{\Large\sim}{\to}G’$ 的逆 $f^{-1}:G’\to G$ 也是同构．
可证同构是等价关系：
设 $f: G\overset{\Large\sim}{\to}G’,\quad g=f^{-1}$，则
$\forall\;a,\,b\in G,\quad f(ab)=f(a)f(b)$，
$\forall\;c,\,d\in G’,\quad g(cd)=g(c)g(d)$，
若 $G’=G$，可设恒等映射 $f:G\to G,\quad x\mapsto x$，则 $g:G\to G,\quad x\mapsto x$，于是有 $f(ab)=ab=f(a)f(b)$ 成立，且 $g(cd)=cd=g(c)g(d)$ 亦成立，即 $G\cong G$，可知其自反性；
又由双射的性质，可知其对称性；
又设 $f’:G’\overset{\Large\sim}{\to}H,\quad g’=f’^{-1}$，则
$\forall\;j,\,k\in G’,\quad f’(jk)=f’(j)f’(k)$，
$\forall\;m,\,n\in H,\quad g’(mn)=g’(m)g’(n)$
于是有 $\varphi=f’\circ f: G\to H,\quad$$\psi=\varphi^{-1}=g\circ g’:H\to G$，并且
$\forall\;a,\,b\in G,$
$\varphi(ab)=f’f(ab)=f’(f(a)f(b))$$=f’f(a)f’f(b)=\varphi(a)\varphi(b)$；
$\forall\;m,\,n\in H,$
$\psi(mn)=gg’(mn)=g(g’(m)g’(n))$$=gg’(m)gg’(n)=\psi(m)\psi(n)$，
即 $G\cong H$，可知其传递性．
■
群的同构关系揭示了群之间内在结构的一致性，同构的群拥有着相同的构造，这意味着研究一个群，往往就能得到与之同构的群的性质．但是，当同构的群同时作为另一群的子群时，它们的地位常常是不一致的．换言之，同构保持了群自身的结构（“内在的”），但不保证对于其他的群拥有同样的关系（“外在的”）．
设映射 $f:G\to H$ 为群同态，则有以下两条重要性质
(α) $f(e_G)=e_H$；
(β) $\forall\;a\in G,\quad f(a^{-1})=f(a)^{-1}$.
〔证明〕：
$e:=e_G,\;e’:=e_H$，则
$f(e)=f(ee)=f(e)f(e)$，
由此得证 $f(e)=e’$；
又有
$f(e)=f(aa^{-1})=f(a)f(a^{-1})=e’$，
$f(e)=f(a^{-1}a)=f(a^{-1})f(a)=e’$，
于是可知 $f(a)f(a^{-1})=f(a^{-1})f(a)=e’$，即 $f(a)f(a^{-1})$ 为 $f(a^{-1})f(a)$ 的逆元，得证 $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$．
■
〔定义〕：
群 $G$ 到其自身的同态称为自同态（endomorphism(11)），到其自身的同构称为自同构（automorphism(12)）．
自同态的复合恒为自同态（可参考前述关于同构等价的证明得证）．群 $G$ 上所有自同态所成集合关于复合运算成幺半群，称为自同态幺半群（endomorphism monoid），并记为 $\mathrm{End}(G)$，其单位元为 $G$ 上的恒等映射．
群 $G$ 上所有自同构所成集合关于复合运算成群，称为自同构群（automorphism group），并记为$\mathrm{Aut}(G)$，其单位元为 $G$ 上的恒等映射，且由双射的性质可知其中所有映射均可逆．由于同构具有传递性，因此可知其封闭性，由复合映射的性质可知其结合性．
- 恒等映射称为平凡自同构（trivial automorphism）．
- $G$ 上的所有自同构 $f$ 均满足 $f(G)=G$(13)．
Annotationes 注释
(1). 尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802—1829），挪威数学家，因证明五次方程不存在根式解而闻名，在众多领域有所成就． ↩
(2). $\exists!$ 表示唯一存在． ↩
(3). 幺半群的单位元唯一性亦可同理得证． ↩
(4). $a$ and $b$ are congruent modulo $n$，congruent 所对应的名词为 congruence． ↩
(5). $\gcd(a,\,n)$ 表示 $a$ 与 $n$ 的最大公因数（greatest common divisor），$\gcd(a,\,n)=1$ 即 $a$ 与 $n$ 互质．此结论可由数论的 Bézout 定理（Bézout’s lemma）得出． ↩
(6). homo-：希腊语 homos “相同”，morph-：希腊语 morphē “形态”． ↩
(7). mono-：希腊语 monos “单独”，morph- 同上． ↩
(8). epi-：希腊语 epi “向上”，morph- 同上．这一构词来自“满射” surjection 的本义“向上射”． ↩
(9). iso-：希腊语 isos “相等”，morph- 同上． ↩
(10). 需要注意这里出现的两个“同构”的区别，前者是映射的一种，后者是群之间的关系． ↩
(11). endo-：希腊语 endon “在内”，morph- 同上． ↩
(12). auto-：希腊语 autos “自己”，morph- 同上． ↩
(13). $f(G):=\{f(x)\mid x\in G\}$，类似情况同理． ↩