Praefatio 前言
抽象代数（abstract algebra）是研究代数结构的数学分支，其研究对象主要包括了群（group）、环（ring）、域（field）等．在 18 世纪前后的数学家对高次方程解的研究中，群论逐渐成型．随后，环等等概念也逐渐出现．20 世纪初，对代数结构的研究方法发生了显著改变，而为了区分于古典时期的代数研究，人们也称这一数学领域为近世代数（modern algebra）．群论与环论在此进程中渐渐成为纯数学中的重要部分，并应用于理论物理、理论计算机科学等各种领域．
本系列文章源自本人学习抽象代数的手写笔记，基本上基于冯克勤《近世代数引论》(1)，同时参考了其他资料，在此预先一并列出：
书籍：
- 冯克勤, 李尚志, 章璞. 近世代数引论. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2018
- Michael Artin. 代数（Algebra）. 北京: 机械工业出版社, 2011
- Serge Lang. 代数（Algebra）. New York: Springer-Verlag, 2002
- Thomas W. Hungerford. Algebra. New York: Springer-Verlag, 1974
- 永尾汎. 群論の基礎. 東京: 朝倉書店, 2004
- 志賀浩二. 群論への30講. 東京: 朝倉書店, 1989
- 左孝凌, 李为鉴, 刘永才. 离散数学. 上海: 上海科学技术文献出版社, 1982
网络公开课：
- 【大学数学】群論入門（日语，Youtube）
- 万门大学 抽象代数
网络资料：
本文仅仅是学习笔记，主要为整理书中内容并按个人理解稍作修改而成，限于学识而错误在所难免，望指正．
在此特别感谢 AlphaGem 对笔记的指正及指导意见，知乎 刘醉白 对部分内容提供的解答．
Nexus Seriei 全系列链接
抽象代数笔记 〇一：集合论 // Theoria Copiarum
抽象代数笔记 〇二：群与同态 // Catervae & Homomorphismi
抽象代数笔记 〇三：子群与陪集 // Succatervae & Concopiae
抽象代数笔记 〇四：循环群 // Catervae Cyclicae
抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子 // Conjugatio, Normalizatores & Centralizatores
抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群 // Succatervae Normales & Catervae Quotientis
抽象代数笔记 〇七：同态与同构定理 // Theoremata Homomorphismi Isomorphismique
抽象代数笔记 〇八：置换群与单群 // Catervae Permutationis & Catervae Simplicae
抽象代数笔记 〇九：群作用 // Actiones Catervarum
抽象代数笔记 一〇：Sylow 定理 // Theorema Sylowi
抽象代数笔记 一一：自由群 // Catervae Liberae
抽象代数笔记 一二：有限生成阿贝尔群 // Catervae Abelianae Finite Generatae
抽象代数笔记 一三：小阶群的结构 // Structurae Catervarum Parvarum
抽象代数笔记 一四：可解群 // Catervae Solubiles
抽象代数笔记 一五：环与域 // Anelli & Corpora
抽象代数笔记 一六：理想与环的同构定理 // Idealia & Theoremata Isomorphismi Anellorum
抽象代数笔记 一七：环同态的应用 // Applicationes Homomorphismorum Anellorum
……（更新中）
Praeliminares de Theoria Copiarum
集合论预备知识
对于任意多个集合组成的集族 $\{A_i\mid i\in I\}$（其中 $I$ 为集族的索引集合），有
$\displaystyle\bigcap_{i\in I}\;A_i=\{x\mid \forall\;i\in I,\quad x\in A_i\},$
$\displaystyle\bigcup_{i\in I}\;A_i=\{x\mid \exists\;i\in I,\quad x\in A_i\}.$
特别地，如果集合互不相交，其并集称为这些集合的不交并（disjoint union），记作 $\displaystyle\bigsqcup_{i\in I}\;A_i$．
〔定义〕：
设 $A,\;B$ 为两个集合，集合 $\{(a,\,b)\mid a\in A,\;b\in B\}$ (2)称为 $A$ 和 $B$ 的直积（direct product）或笛卡尔积（Cartesian product），记作 $A\times B$．
$\forall\;a,\,a’\in A,\;\forall\;b,\,b’\in B,$
$(a,\,b)=(a’,\,b’)\;\Leftrightarrow\;a=a’,\;b=b’.$
$\displaystyle\prod_{i=1}^n A_i=\{(a_1,\,\cdots,\,a_n)\mid a_i\in A_i,\;1\leq i\leq n\}.$
〔定义〕：
设 $f: A\to B,\; g:A\to B$，若 $\forall\;a\in A,\quad f(a)=g(a)$，则称 $f$ 和 $g$ 相等．
〔定义〕：
集合间的映射 $f:A\to B,\; g:B\to C$ 经连续作用可得
$g\circ f:A\to C,\quad(g\circ f)(a)=g(f(a)),$
映射 $g\circ f$ 称为 $f$ 和 $g$ 的复合映射或合成映射（composition）．出于简便考虑，$g(f(a))$ 也会写成 $gf(a)$．
合成运算满足结合律：
设 $f: A\to B,\;g:B\to C,\; h:C\to D$，有
$h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$．
〔定义〕：
设 $A$ 为集合，映射
$I_A:A\to A,\quad a\mapsto a$
称为集合 $A$ 上的恒等映射（identity map）．
- 映射 $f:A\to B$ 为双射，当且仅当存在映射 $g:B\to A$，使得 $f\circ g=I_B,\;g\circ f=I_A$．
〔定义〕：
集合 $A\times A$ 的每个子集 $R$ 称为集合 $A$ 上的一个关系（relation）(3)．
若 $(a,\,b)\in R$，则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $R$，记作 $aRb$．
〔定义〕：
定义集合 $A$ 上的关系 $\sim$，当且仅当关系 $\sim$ 满足
(α) 自反性（reflexivity）： $\forall\; a\in A,\quad a\sim a$；
(β) 对称性（symmetry）： $\forall\;a,\,b\in A,\quad a\sim b\;\Rightarrow\; b\sim a$；
(γ) 传递性（transitivity）： $\forall\; a,\,b,\,c\in A,\quad a\sim b,\;b\sim c\;\Rightarrow\; a\sim c$，
则称之为集合 $A$ 上的等价关系（equivalence relation）．
对任意 $a\in A$，记 $[a]=\{b\in A\mid a\sim b\}$，则称 $[a]$ 为 $a$ 所在的等价类（equivalence class），且有
(α) $\forall\;p,\,q\in[a],\quad p\sim q$；
(β) $p\in[a]\;\Rightarrow\;[a]=[p]$；
(γ) $[a]\cap[p]\neq\varnothing\;\Rightarrow\;[a]=[p]$．
元素 $a$ 称为等价类的代表元（representative）．
对于集合 $A$ 上的等价关系 $\sim$，所有等价类组成的集族称为 $A$ 除以 $\sim$ 的商集（quotient set of $A$ by $\sim$），或 $A$ 除以 $\sim$ 的商空间（quotient space of $A$ by $\sim$），记作 $A\,/\sim$．
〔定义〕：
设集合 $A$ 上有等价关系 $\sim$，若 $A$ 的子集 $R=\{r_1,\,\cdots,\,r_n\}$ 满足：
$\forall\;r_i,\,r_j\;(i,\,j\in\{x\mid 1\leq x\leq n\},\;i\neq j),\quad [i]\neq [j]$，
且
$\forall\;a\in A,\;\exists\;r\in R,\quad a\sim r$，
则称 $R$ 为集合 $A$ 关于等价关系 $\sim$ 的完全代表系（complete system of representatives），从而有
$A=\displaystyle\bigsqcup_{a\in R}\;[a]$．
换言之，集合 $A$ 关于等价关系 $\sim$ 的一个完全代表系即从商集 $A/\sim$ 所含的集合中各取一个元素所成的集合．
〔定义〕：
记集合 $A$ 的子集中某些互不相交的非空子集组成的集族为 $\mathscr F$，若 $\mathscr F$ 中所有集合之并等于 $A$，则称 $\mathscr F$ 中的集合覆盖（covers）$A$，且 $\mathscr F$ 为集合 $A$ 的一个分划或分拆（partition）(4)．
- 若定义关系 $\sim:\;\forall\;a,\,b\in A,\quad a\sim b\;\Leftrightarrow\;a,\,b\in A_i$，其中 $A_i\in \mathscr F$，则关系 $\sim$ 为等价关系．
- 集合 $A$ 上的等价关系与其分划一一对应．
〔定义〕：
定义集族 $\mathscr F$ 上的等价关系：
$\forall\;A,\,B\in\mathscr F,$
$A\sim B\;\Leftrightarrow\;$存在 $f:A\to B$ 且 $f$ 为双射，
由此，若集合 $P,\;Q$ 满足 $P\sim Q$，则称 $P$ 与 $Q$ 等势（equinumerous）．
- 有限集 $A,\;B$ 等势当且仅当 $|A|=|B|$(5)．
- 等势于正整数集 $\mathbb N_+$ (6)的集合称为可数无限集（countably infinite set），其余无限集称为不可数无限集（uncountably infinite set）．
设 $A$ 为有限集，其幂集 $\mathscr P(A)$ 的势 $|\mathscr P(A)|=2^{|A|}$．
〔证明〕：
$n:=|A|$(7)，则 $A$ 共有 $\mathrm C_m^n$(8)个 $m$ 元子集，
从而 $|\mathscr P(A)|=\displaystyle\sum_{i=0}^n\mathrm C_i^n=2^n$．(9)
■
〔定义〕：
设 $A$ 为集合，映射 $f:A\times A\to A$ 称为集合 $A$ 上的一个二元运算（binary operation），简称运算．
设 $\sim$ 为 $A$ 上的等价关系，$A\,/\sim$ 为 $A$ 除以 $\sim$ 的商集，以 $[a]$ 表示 $a$ 关于 $\sim$ 的等价类．又设二元运算 $g:(A\,/\sim)\times(A\,/\sim)\to (A\,/\sim)$ ，当且仅当恒有
$\forall\;a,\,b,\,\alpha,\,\beta\in A,\;$
$[a]=[\alpha],\;[b]=[\beta]\;\Rightarrow\; g([a],\;[b])=g([\alpha],\;[\beta])$，
可称该运算定义良好（well-defined）．
Annotationes 注释
(1). 我知道这书风评不太好． ↩
(2). $(a,\,b)$ 表示序偶（有序对），一些资料也使用尖括号的写法：$\langle a,\,b\rangle$． ↩
(3). 集合论中也会定义涉及不同集合的关系，此处只考虑处于同一集合者． ↩
(4). 一些资料也使用类似的近义词作为译语． ↩
(5). $|A|$ 表示有限集 $A$ 的基数（cardinal number），即其中元素的数量，也记作 $\mathrm{card}(A)$．无限集的元素之“多少”不能直接以数量衡量，这一量度称为无限集的势（cardinality）. 一些场合下有限集的基数也统称为势，后文均依此． ↩
(6). 按照中国国家标准与 ISO 相关标准，自然数集 $\mathbb N$ 指非负整数的集合，而此处用 $\mathbb N_+$ 表示正整数的集合，即 $\mathbb N\setminus \{0\}$，后文均依此． ↩
(7). 本文及后文中，符号 $n:=a$ 表示“定义 $n$ 等于 $a$”，$a=:n$ 表示“记 $a$ 为 $n$”，其中的 $n$ 代表为了简便等原因引入的新符号，而 $a$ 表示已有定义的表达式． ↩
(8). 此处依照 ISO 以及国际惯例，$\mathrm C_m^n:=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$，也记作 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$，而在中国国家标准中作 $\mathrm C_n^m$． ↩
(9). （二项式定理）：$2^n=(1+1)^n=\sum_{i=0}^n\mathrm C_i^n(1^{n-k}\cdot1^k)=\sum_{i=0}^n\mathrm C_i^n$． ↩