Catervae Cyclicae 循环群
〔定义〕：
设 $S$ 是群 $G$ 的子集，$G$ 的所有子群中包含 $S$ 的最小子群 $A$ 称为由 $S$ 生成的子群（the subgroup generated by $S$），记为 $\langle S\rangle$．
若 $A_1,\,A_2\leq G$ 均包含 $S$，则 $A_1\cap A_2$ 也是包含 $S$ 的子群(1)，于是 $\langle S\rangle$ 即 $G$ 中所有包含 $S$ 的子群之交．
显然 $\langle S\rangle$ 是群，所以
$\forall\;a\in S,\quad a,\,a^{-1}\in\langle S\rangle$，
于是对于 $a_1,\,a_2,\,\cdots,a_n\in S\cup S^{-1}$，有
$\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i\in\langle S\rangle,\quad\prod_{i=1}^n a_i^{-1}\in\langle S\rangle$，（此处无论左乘右乘均成立）
从而
$\langle S\rangle=\left\{\left.\displaystyle\prod_{i=1}^ma_i\;\right|\;m>0,\;a_i\in S\cup S^{-1}\right\}\bigcup\;\{e\}$（此处无论左乘右乘均成立），即 $\langle S\rangle$ 为 $S$ 中元素及其逆元的有限次乘积的所有结果，以及 $G$ 中单位元（也可能位于前述的结果中）所成的群．
若 $G$ 本身由子集 $S$ 生成，或者说 $S$ 生成（generates）$G$，则 $\langle S\rangle=G$，此时称 $S$ 是 $G$ 的一个生成元系或生成集（generating set），$S$ 的元素称为生成元（generator）．
若 $G=\langle S\rangle$ 且 $S$ 是有限集，则称 $G$ 为有限生成群（finitely generated group）．
若 $G$ 由单元素集合 $\{a\}$ 生成，则称 $G$ 为循环群（cyclic group）(2)．
- 若 $G=\langle a\rangle$(3)，而 $|a|=\infty$，则 $G=\{\cdots,\,a^{-2},\,a^{-1},\,e,\,a,\,a^2,\,\cdots\}$，如此的循环群 $G$ 称为无限循环群（infinite cyclic group）．而若 $a$ 为有限阶元素，且 $|a|=n\geq 1$，则 $G=\{e,\,a,\,\cdots,\,a^{n-1}\}$，如此的循环群 $G$ 称为 $n$ 阶有限循环群（finite cyclic group of $n$ order），或简称 $n$ 阶循环群．
- 无限循环群 $G_\infty$ 同构于整数加法群 $(\mathbb Z,\,+)$，比如取群同构 $G_\infty\overset{\Large\sim}\to \mathbb Z,\quad a^n\mapsto n$．
- $n$ 阶循环群 $G_n$ 同构于整数模 $n$ 加法群 $\mathbb Z_n$，同理可以取群同构 $G_n\overset{\Large\sim}\to \mathbb Z,\quad a^n\mapsto n$．
〔定理 4.1〕：
同为 $n$ 阶的循环群相互同构．同构的循环群均为无限循环群，或均为同阶循环群．
这一定理可由上述性质显然得证．
〔定理 4.2〕：
设 $G$ 为循环群，
(α) 若 $G$ 为无限循环群，则对于任意 $m\in \mathbb N_+$，$G$ 中唯一存在指数为 $m$ 的子群 $H_m:=\langle a^m\rangle$，这些群与平凡群 $\{e\}$ 为 $G$ 的所有子群；
(β) 若 $G$ 为 $n$ 阶有限循环群，则对于 $n$ 的各正因子 $m$，$G$ 中都唯一存在指数为 $m$ 的 $\dfrac nm$ 阶子群 $H_m:=\langle a^m\rangle$，这些群即 $G$ 的所有子群．
〔证明〕：
(α)：
设 $H\leq G=\langle a\rangle$，不妨设 $H\neq\{e\}$，令 $m$ 为满足 $a^m\in H$ 的最小正整数，从而
$\forall\;n\in\mathbb Z,\quad a^n\in H\;\Leftrightarrow\;m\mid n$，
则 $H=\langle a^m\rangle=H_m$．
当 $|a|=\infty$，$[G:H_m]=m$（考虑陪集分解），得证．
(β)：
设 $H\leq G=\langle a\rangle$，并设 $|a|=n$，令 $m$ 为满足 $a^m\in H$ 的最小正整数，
又设 $n=mq+r\quad(0\leq r\leq m-1,\;q,\,r\in\mathbb Z)$，由于 $a^m\in H$，所以 $a^r=a^{n-mq}=a^na^{-mq}=(a^m)^{-q}\in H$．
由于 $m$ 为满足 $a^m\in H$ 的最小正整数，所以可知 $r=0$，进而 $m\mid n$，且 $n=mq\quad(q\in\mathbb Z)$．
由此则 $H=H_m=\{e,\,a^m,\,a^{2m},\,\cdots\}$（特别地，$H_n=\{e\}$），这是 $q=n/m$ 阶循环群，且 $[G:H_m]=|G|/|H_m|=n/q=m$．
■
- 设 $G=\langle a\rangle,\;|a|=n$．Lagrange 定理表明，$\forall\;H\leq G,\quad t:=|H|,\;t\mid n$，而由该定理可知在循环群（而非所有群）的场合下，其逆也成立：$\forall\; t\mid n,\;t\geq0,\;\exists!\;H=\langle a^{n/t}\rangle\leq G,\quad|H|=t$．
〔定理 4.3〕：
设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群，
(α) 若 $G$ 为无限循环群，则其生成元只有 $a$ 和 $a^{-1}$；
(β) 若 $G$ 为 $n$ 阶有限循环群，则生成元共有 $\varphi(n)$ 个，即所有满足 $1\leq k\leq n,\;k\,\bot\,n$ 的 $a^k$．
〔证明〕：
(α)：
显然 $\langle a^{-1}\rangle=\langle a\rangle=G$，又可知 $[G:\langle a^n\rangle]=n$，于是得
$\langle a^n\rangle=G\;\Leftrightarrow\;n=\pm 1$．
(β)：
因为 $|a|=n$，所以 $|a^k|=\dfrac n{\gcd(k,\,n)}$ （Th. 3.8），
于是
$\begin{aligned}\langle a^k\rangle=G\;&\Leftrightarrow\;|a^k|=n\\ &\Leftrightarrow\;\dfrac{n}{\gcd(k,\,n)}=n\\&\Leftrightarrow\;k\,\bot\,n.\end{aligned}$
■
设 $G=\langle a\rangle$，若设 $f:G\overset{\Large\sim}\to G,\quad a\mapsto a^m$ 是 $G$ 上的自同构，则有 $f(G)=\langle a^m\rangle=G$．
若 $G$ 为无限循环群，则 $m=\pm 1$ （Th. 4.3），于是 $\mathrm{Aut}(G)$ 为 $2$ 阶群；
若 $G$ 为 $n$ 阶有限循环群，则 $\langle a^m\rangle=G\;\Leftrightarrow\;m\,\bot\,n$ （Th. 4.3），
当 $m,\,n$ 互质，设 $f_m:G\to G,\quad a\mapsto a^m$，易证 $f_m$ 是 $G$ 上的自同态，
因为 $\langle a^m\rangle=G$，所以 $f_m$ 是满自同态，
又由此，因为 $f_m$ 是 $G$ 到 $G$ 的映射，所以 $f_m$ 也是单自同态，
从而 $f_m$ 是 $G$ 上的自同构．
设任意 $k$ 满足 $0\leq m\neq k\leq n-1$，则 $f_m(a)=a^m\neq a^k=f_k(a)$，可知 $f_m\neq f_k$，
综上则 $G$ 共有 $\varphi(n)$ 个自同构，$\mathrm{Aut}(G)=\{f_m:G\to G,\;a\mapsto a^m\mid1\leq m\leq n,\;m\,\bot\,n\}$．该自同构群同构于整数模 $p$ 加法群中全体乘法可逆元所成的乘法群 $\mathbb Z_n^\ast$，且为 $\varphi(n)$ 阶阿贝尔群．
〔定义〕：
设 $z\in \mathbb C,\;n\in\mathbb N_+$，方程 $z^n=1$ 的根称为 $n$ 次单位根（$n$-th root of unity），记为 $\mathrm e^{2k𝛑\mathrm i/n}$ 或 $\cos\dfrac{2k𝛑}n+\sin\dfrac{2k𝛑}n$（Euler 公式），其中 $k$ 为 $0$ 到 $n-1$ 的整数．特别地，若 $k\,\bot\,n$，则称 $\mathrm e^{2k𝛑\mathrm i/n}$ 为 $n$ 次本原单位根（primitive $n$-th root of unity），其数量为 $\varphi(n)$．
所有 $n$ 阶单位根所成的集合 $\{e^{2k𝛑\mathrm i/n}\mid k\in \mathbb N,\;0\leq k\leq n-1\}$ 关于乘法形成循环群，其生成元为任一 $n$ 次本原单位根．
Problemata 习题
〔4.A〕：
证明 $\forall\;H\leq G,\quad(H=\{e\})\vee(H=G)\;$ $\Leftrightarrow\;(G=\{e\})\vee(G=\langle g\rangle,\;g\in G,\;g\neq e,\;|G|\in\mathbb P)$．
〔参考解答〕：
〔$\Leftarrow$〕显然．
〔$\Rightarrow$〕：
设 $G\neq\{e\}$，则 $\forall\;g\in G,\;g\neq e,\quad\langle g\rangle=G$，
因此 $G$ 为有限循环群， （Th. 4.3）
且 $\varphi(|G|)=|G|-1$，所以 $|G|\in\mathbb P$．
■
〔4.B〕：
证明 Euler 定理（Euler’s theorem）：
$n\in\mathbb N_+,\;a\,\bot\,n\;\Rightarrow\;a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n$．
〔参考解答〕：
为了便于证明，首先〔定义〕：
记 $a\in\mathbb Z$ 的模 $n$ 同余类为 $\overline a$，定义乘法 $\overline a\cdot\overline b=\overline{ab}$，不难验证该乘法定义良好．
所有与 $n$ 互质的整数的模 $n$ 同余类关于乘法形成群，记作 $\mathbb Z_n^\ast$，其单位元为 $\overline 1$，且结合性显然，
并且对于所有整数 $a,\,b$，若分别与 $n$ 互质，则其乘积 $ab$ 也与 $n$ 互质，从而可验证 $\mathbb Z_n^\ast$ 具有封闭性，
再者，若存在整数 $\alpha$，使得 $\overline{a\alpha}=\overline{\alpha a}=\overline 1$，这就相当于使得 $a\alpha=\alpha a=1$，又等价于 $a\alpha\equiv 1\pmod n$，又进一步等价于 $\exists\;\alpha,\,k\in \mathbb Z,\quad a\alpha+kn=1$，由数论的 Bézout 定理可知对于所有与 $n$ 互质的整数 $a$，都存在这样的 $\alpha$，进而 $\overline\alpha=(\overline a)^{-1}$，这就验证了 $\mathbb Z_n^\ast$ 的可逆性．
该群 $\mathbb Z_n^\ast$ 实际上即是整数模 $n$ 加法群 $\mathbb Z_n$ 中所有乘法可逆元所成的群，称作整数模 $n$ 乘法群（multiplicative group of integers modulo $n$）或既约模 $n$ 剩余类群（group of primitive residue classes modulo $n$），并且 $|\mathbb Z_n^\ast|=\varphi(n)$．
于是，
$a\,\bot\,n\;\Leftrightarrow\;\overline a\in\mathbb Z_n^\ast$，
而因为 $\mathbb Z_n^\ast$ 为有限群，所以 $|\overline a|$ 整除 $\varphi(n)$， （Th. 3.4）
从而 $(\overline a)^{\varphi(n)}=\overline 1$，即得证．
■
特别地，若令 $p\in\mathbb P$，则得证了 Fermat（费马）小定理（Fermat’s little theorem）：
$a^{\varphi(p)}=a^{p-1}\equiv 1\pmod p$．
〔4.C〕：
证明 若群 $G$ 只有有限个子群，则 $G$ 为有限群．
〔参考解答〕：
若 $G$ 中存在无限阶元素 $g$，则子群 $\langle g\rangle$ 同构于整数加法群 $\mathbb Z$，它有形如 $n\mathbb Z\;(n\in\mathbb Z)$ 的无限个子群，矛盾．
于是 $G$ 中元素均为有限阶元素，并且因为 $G$ 的子群数量有限，所以其循环子群的数量亦有限，由此可知 $G=\displaystyle\bigcup_{g\in G}\;\langle g\rangle$，于是又可知存在一组生成元 $g_1,\,g_2,\,\cdots,\,g_n\in G$ 使得 $G=\displaystyle\bigsqcup_{i=1}^n\;\langle g_i\rangle$．
因为所有 $G$ 中元素均为有限阶元素，所以上述生成元所生成的循环群均为有限群，从而 $G$ 为有限群．
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Annotationes 注释
(1). $A,\,B\leq G\;\Rightarrow\;A\cap B\leq G$，见 抽象代数笔记 〇三：子群与陪集 注释(2)． ↩
(2). 需要注意的是，如果子集 $S$ 是 $G$ 的生成元系，那么所有包含 $S$ 的子集也是 $G$ 的生成元系，因此 $G$ 中所有元素都能成为生成元．于是“生成元”一词应对于指定的生成元系使用，而对于循环群而言，“生成元”一词通常指其单元素生成元系的元素，下文依此． ↩
(3). 为简洁起见后文均记单元素集合 $\{a\}$ 所生成的子群 $\langle\{a\}\rangle$ 为 $\langle a\rangle$． ↩