Conjugatia 共轭
〔定义〕：
设 $G$ 为群，$a,\,b\in G$，若 $\exists\;g\in G,\quad g^{-1}ag=b$，则称 $a$ 与 $b$（对于 $g$）共轭（conjugate）(1)，元素 $b=g^{-1}ag$ 称为 $a$ 的共轭元素（conjugate element）．可证这个关系为等价关系：
(α) 自反性：$e^{-1}ae=a$；
(β) 对称性：若 $g\in G,\;g^{-1}ag=b$，则 $gbg^{-1}=(g^{-1})^{-1}bg^{-1}=a$，而 $g^{-1}\in G$；
(γ) 传递性：若 $g,\,h\in G,\;g^{-1}ag=b,\;h^{-1}bh=c$，则有 $h^{-1}g^{-1}agh=(gh)^{-1}a(gh)=c$，而 $gh\in G$．
由此，可将群 $G$ 关于该关系分划为各个等价类，称为（元素的）共轭类（conjugacy class），群 $G$ 中元素的共轭类数量称为 $G$ 的类数（class number）．
类似地，设 $A,\,B\subseteq G$，若 $\exists\;g\in G,\quad g^{-1}Ag=B$，则称子集 $A$ 与 $B$ （对于 $g$）共轭，$B=g^{-1}Ag$ 称为 $A$ 的共轭子集（conjugate subset），该关系同样为等价关系．每个等价类称为（子集的）共轭类，由于 $|g^{-1}Ag|=|A|$，所以子集的同一共轭类中各子集等势．而特别地，若 $A\leq G$，则易证亦有 $g^{-1}Ag=B\leq G$(2)，从而子群 $A$ 与 $B$（对于 $g$）共轭，$B=g^{-1}Ag$ 称为 $A$ 的共轭子群（conjugate subgroup），可同样地定义子群的共轭类．
〔例〕：
考虑 $\mathbb R$ 上的 $n$ 次一般线性群 $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$， 对于任意 $𝑨,\,𝑩\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$，$𝑨$ 与 $𝑩$ 共轭 $\Leftrightarrow$ 存在 $𝑴\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ 使得 $𝑴^{-1}𝑨𝑴=𝑩$．由线性代数的知识可知，这个共轭关系实际上就是矩阵的相似（similarity）关系，矩阵的共轭元素即其相似矩阵（similar matrix）．
由于 $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)\leq\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$，所以 $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ 的共轭子群即 $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ 中所有矩阵的相似矩阵所成矩阵．由线性代数的知识可以知道，相似矩阵拥有相等的行列式，因此 $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ 的共轭子群即其自身．
〔定理 5.1〕：
设 $G$ 为群，$A\leq G$，则与 $A$ 共轭的所有 $G$ 的子群均互相同构（但逆命题不成立）．
〔证明〕：
设 $\exists\;g\in G,\quad g^{-1}Ag=:B\leq G$，则可设映射 $f:A\to B,\quad a\mapsto g^{-1}ag$，由于 $\forall\;a,\,b\in A,\quad$$f(ab)=g^{-1}abg=g^{-1}agg^{-1}bg=f(a)f(b)$，可知 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的群同态，又由等价关系的对称性，可知 $f$ 为群同构．
■
Normalizatores & Centralizatores
正规化子与中心化子
〔定义〕：
设 $G$ 为群，$M\subseteq G$，则 $\{g\in G\mid g^{-1}Mg=M\}$ (3)是 $G$ 的子群：
$\forall\;g,\,g’\in\{g\in G\mid g^{-1}Mg=M\},$
$\because\;g^{-1}Mg=g’^{-1}Mg’=M$，
$\therefore\;gMg^{-1}=g’Mg’^{-1}=M$，
于是 $(g^{-1}g’)^{-1}M(g^{-1}g’)=g’^{-1}(gMg^{-1})g’=g’^{-1}Mg’=M$，
因此 $g^{-1}g’\in \{g\in G\mid g^{-1}Mg=M\}$，
从而 $\{g\in G\mid g^{-1}Mg=M\}\leq G$．
该子群称为 $M$ 的正规化子（normalizer），记为 $\mathrm N_G(M)$．
- 若 $G$ 的子群 $H$ 满足 $\mathrm N_G(H)=H$，则称之为 $G$ 的自正规化子群（self-normalizing subgroup）．
- 若 $G$ 为阿贝尔群，则 $\forall\;M\subseteq G,\quad \mathrm N_G(M)=G$．
- 所以若 $G$ 为阿贝尔群，则 $G$ 自身为其自正规化子群．
〔例〕：
考虑实数加法群 $(\mathbb R,\,+)=:\mathbb R^+$，它是阿贝尔群，因此对于其任一子集 $A$，都有 $\mathrm N_A(\mathbb R^+)=\mathbb R^+$．
考虑 $\mathbb R$ 上的 $2$ 次一般线性群 $\mathrm{GL}_2(\mathbb R)=:G$，矩阵 $𝑨=\begin{bmatrix}1 &\\& 4\end{bmatrix}$ 所成的单元素集合 $\{𝑨\}$ 是 $G$ 的子集．设 $G$ 中任一矩阵为 $𝑴=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$，则有
$𝑴𝑨=\begin{bmatrix}a & 4b \\ c & 4d\end{bmatrix},\quad𝑨𝑴=\begin{bmatrix}a & b \\ 4c & 4d\end{bmatrix}$．
$𝑴𝑨=𝑨𝑴$，当且仅当 $b=c=0$，所以 $\mathrm N_{\{𝑨\}}(G)=\left\{\left.\begin{bmatrix}p & \\& q\end{bmatrix}\;\right|\;p,\,q\in\mathbb R,\;pq\neq 0\right\}$．
〔定义〕：
设 $G$ 为群，$M\subseteq G$，则 $\{g\in G\mid \forall\;a\in M,\; g^{-1}ag=a\}$ (4) 是 $G$ 的子群：
$\forall\;g,\,g’\in \{g\in G\mid \forall\;a\in M,\; g^{-1}ag=a\},\quad$$\forall\;a\in M,$
$\because\;g^{-1}ag=g’^{-1}ag’=a$，
$\therefore\;gag^{-1}=g’ag’^{-1}=a$，
于是 $(g^{-1}g’)^{-1}a(g^{-1}g)=g’^{-1}(gag^{-1})g=g’^{-1}ag=a$，
因此 $g^{-1}g’\in\{g\in G\mid \forall\;a\in M,\; g^{-1}ag=a\}$，
从而 $\{g\in G\mid \forall\;a\in M,\; g^{-1}ag=a\}\leq G$．
该子群称为 $M$ 的中心化子（centralizer），记为 $\mathrm C_G(M)$．
特别地，$G$ 自身的中心化子 $\mathrm C_G(G)$ 可记为 $\mathrm Z(G)$ (5)或 $\mathrm C(G)$，称为 $G$ 的中心（center），其中的元素即与 $G$ 中任一元素均可交换的元素，这些元素称为 $G$ 的中心元素（central element）．
- $G$ 中任一元素 $a$ 所成单元素集合 $\{a\}$，其正规化子 $\mathrm N_G(\{a\})$ 与中心化子 $\mathrm C_G(\{a\})$ 可分别简记为 $\mathrm N_G(a),\,\mathrm C_G(a)$，且恒有 $\mathrm N_G(a)=\mathrm C_G(a)$．
- 由定义可知，若 $M\subseteq G$，则 $\mathrm C_G(M)\leq\mathrm N_G(M)$．
- $H\leq G,\;a\in H\;\Rightarrow\; \mathrm C_H(a)=\mathrm C_G(a)\cap H$．
若 $G$ 为阿贝尔群，则 $\forall\;M\subseteq G,\quad \mathrm C_G(M)=G$．
- 所以，若 $G$ 为阿贝尔群，则 $\forall\;M\subseteq G,\quad \mathrm Z_G(M)=\mathrm C_G(M)=G$．特别地，$G$ 为阿贝尔群，当且仅当 $\mathrm Z_G(G)=\mathrm Z(G)=G$．
$z\in \mathrm Z(G)$ 当且仅当 $G$ 中与 $z$ 共轭的元素只有 $z$ 自身．
〔例〕：
考虑 $\mathbb R$ 上的 $2$ 次一般线性群 $\mathrm{GL}_2(\mathbb R)=:G$，设其子集 $S=\left\{\left.\begin{bmatrix}k &\\ k & 2k\end{bmatrix}\;\right|\;k\in\mathbb R\setminus\{0\}\right\}$，并设 $𝑨=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$ 为 $G$ 中某一矩阵，于是 $\forall\;𝑴\in S,$
$𝑴𝑨=𝑨𝑴$ $\;\Leftrightarrow\;a=a+b,\;b=2b,\;a+2c=c+d,\;b+2d=2d$ $\;\Leftrightarrow\;a+c=d$，
所以 $\mathrm C_G(S)=\{𝑨\in G\mid\forall\;𝑴\in S,\;𝑴𝑨=𝑨𝑴\}$ $=\left\{\left.\begin{bmatrix}a &\\ c & d\end{bmatrix}\;\right|\;a,\,c,\,d\in\mathbb R,\;a+c=d\right\}$．
考虑 $\mathbb R$ 上的 $n$ 次一般线性群 $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$，其中心为 $n$ 阶实数量矩阵所成的子群，即 $\mathrm Z(\mathrm{GL}_n(\mathbb R))=\{k𝑰_n\mid k\in\mathbb R\setminus\{0\}\}$．(6)
〔定理 5.2〕：
设 $M$ 是群 $G$ 的子集，则与 $M$ 共轭的子集数量为 $[G:\mathrm N_G(M)]$．
〔证明〕：
与 $M$ 共轭的子集具有形式 $g^{-1}Mg\quad(g\in G)$，
于是设 $g,\,g’\in G$，$g^{-1}Mg,\,g’^{-1}Mg’$ 是 $M$ 的共轭子集，
$\begin{aligned} &g^{-1}Mg=g’^{-1}Mg’\\\phantom{\dfrac 11}\Leftrightarrow\;&g’g^{-1}Mgg’^{-1}=(gg’^{-1})^{-1}M(gg’^{-1})=M\\\Leftrightarrow\;&gg’^{-1}\in\mathrm N_G(M)\\\phantom{\dfrac 11}\Leftrightarrow\;&\mathrm N_G(M)\cdot g=\mathrm N_G(M)\cdot g’\end{aligned}$
从而得证，$M$ 的共轭子集数量等于 $G$ 对于 $\mathrm N_G(M)$ 的陪集个数，即 $\mathrm N_G(M)$ 对于 $G$ 的指数 $[G:\mathrm N_G(M)]$．
■
〔推论〕：
与 $a\in G$ 共轭的元素数量为 $[G:\mathrm C_G(a)]=[G:\mathrm N_G(a)]$．
〔定理 5.3〕：
设 $p\in\mathbb P$，$n\geq 1$，$G$ 为 $p^n$ 阶群，则 $|\mathrm Z(G)|>1$，即犹言 $G$ 有非平凡（非单位元）的中心元素．
〔证明〕：
因为 $e\in\mathrm Z(G)$，所以 $r:=|\mathrm Z(G)|\geq 1$，
又对于任意 $z\in G$，
$z\in\mathrm Z(G)\;\Leftrightarrow\;$与 $z$ 共轭的元素只有 $z$，
考虑将 $G$ 分划为（元素的）数个共轭类，各中心元素所在的共轭类只有其自身，其余元素所在的共轭类均有其自身之外的元素．
因为与 $z\in G$ 共轭的元素数量为 $[G:\mathrm C_G(z)]$，
所以每个共轭类的元素个数均为 $|G|=p^n$ 的因子，
从而
$p^n=r+p^{i_1}+p^{i_2}+\cdots\quad(i_1,\,i_2,\,\cdots\in\mathbb N_+)$，
由此可知 $p\mid r$，
从而得证 $|\mathrm Z(G)|=r\geq p>1$．
■
〔定理 5.4〕：
对于任意 $p\in \mathbb P$，$p^2$ 阶群 $G$ 均为阿贝尔群．
〔证明〕：
设 $a\in G,\;a\neq e$，则 $|a|=p$ 或 $|a|=p^2$ （Lagrange 定理）．
若 $\exists\; g\in G,\quad |g|=p^2$，则 $G$ 为 $p^2$ 阶循环群，即为阿贝尔群．
否则，$\forall\;a\in G,\;a\neq e,\quad |a|=p$．
在此情况下，又有 $\exists\;a\in G,\;a\neq e,\quad a\in\mathrm Z(G)$ （Th. 5.3），
所以 $\forall\;b\in G,\quad a^{-1}ba=b$，
又因为
$\forall\;n\in\mathbb N_+,\quad$
$(a^n)^{-1}ba^n=a^{1-n}(a^{-1}ba)a^{n-1}=a^{1-n}ba^{n-1}=\cdots=b$．
所以 $\forall\;n\in\mathbb N_+,\quad a^n\in\mathbb Z(G)$．
而 $|a|=p$，因此 $A:=\{e,\,a,\,a^2,\,\cdots,\,a^{p-1}\}\leq G$，且 $A$ 中所有元素均为中心元素．
因为 $|G|=p^2,\;|A|=p<p^2$，
所以 $\exists\;z\in(G\setminus A),\quad |z|=p$，
从而可证 $A,\,Az,\,Az^2,\,\cdots,\,Az^{p-1}$ 是 $G$ 对 $A$ 的全部右陪集．(7)
因此 $G=\{a^mz^n\mid 0\leq m,\,n\leq p-1\}\quad(a^0=z^0=e)$，
又因为 $a^m\in\mathrm Z(G)$，
所以由中心元素的交换性，可得 $(a^mz^n)(a^{m’}z^{n’})=a^{m+m’}z^{n+n’}=(a^{m’}z^{n’})(a^mz^n)\quad$$(0\leq m,\,m’,\,n,\,n’\leq p-1)$，得证．
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Annotationes 注释
(1). 名词为 conjugacy． ↩
(2). 子群判定定理：$\forall\;a,\,a’\in A,\quad$ $(g^{-1}ag)^{-1}(g^{-1}a’g)=g^{-1}agg^{-1}a’g$ $\;=g^{-1}(aa’)g\in g^{-1}Ag=B$． ↩
(3). 自然也可以写作 $\{g\in G\mid gM=Mg\}$． ↩
(4). 自然也可以写作 $\{g\in G\mid\forall\;a\in M,\;ga=ag\}$． ↩
(5). 字母 Z 取自德语的 Zentrum（中心）． ↩
(6). 数量矩阵（scalar matrix，或谓之标量矩阵）即单位矩阵与非零数量（在此是实数）的乘积．这一结论在线性代数中也可以表述为：与某一矩阵相似的矩阵只有其自身，当且仅当该矩阵为数量矩阵．在此不证． ↩
(7). 注意 $\forall\;k\in\mathbb N_+,\quad (z^k=e)\Leftrightarrow(z^k\in A)$．设 $0\leq n<m\leq p-1$，若存在 $Az^m=Az^n$，则由陪集的定义有 $z^{m-n}\in A$，由于 $m-n$ 与 $p$ 互质（$m-n<p,\;p\in\mathbb P$），而 $|z|=p$，所以 $m-n=1,\;z^{m-n}=z\in A$，与前述矛盾． ↩