Succatervae Normales 正规子群
〔定义〕：
设 $G$ 为群，$N\leq G$，
若 $\forall\;g\in G,\quad g^{-1}Ng=N$，则称 $N$ 为 $G$ 的正规子群（normal subgroup），记为 $N\unlhd G$．
$G$ 的平凡子群 $\{e\}$ 与 $G$ 本身总是 $G$ 的正规子群，称为其平凡正规子群（trivial normal subgroup）．
特别地，若 $N\unlhd G$ 且 $N\neq G$，则称 $N$ 为 $G$ 的真正规子群（proper normal subgroup），记为 $N\lhd G$．(1)
〔定理 6.1〕：
设 $N$ 是 $G$ 的子群，以下命题彼此等价：
(α) $N\unlhd G$，即 $\forall\;g\in G,\quad g^{-1}Ng=N$ （共轭不变）；(2)
(β) $\mathrm N_G(N)=G$ （群自身是其正规子群的正规化子）；
(γ) $N$ 自身是其在 $G$ 中唯一共轭子群；(3)
(δ) $\forall\;g\in G,\;n\in N,\quad g^{-1}ng\in N$ （正规子群包含其中所有元素的共轭）；
(ε) $\forall\;g\in G,\quad gN=Ng$ （左右陪集相等）；
(ζ) $G$ 对于 $N$ 的任一左陪集均为右陪集，反之亦然；
(η) $N$ 是 $G$ 中若干共轭类之并．
〔证明〕：
(α) $\Leftrightarrow$ (β)： $\forall\;g\in G,\quad g^{-1}Ng=N\;\Leftrightarrow\;\mathrm N_G(N)=G$．
(β) $\Leftrightarrow$ (γ)： 因为 $N\leq G$，所以 $N$ 的共轭子群数量为 $[G:\mathrm N_G(N)]=[G:G]=1$（Th. 5.2）；〔$\Leftarrow$〕显然．
(α) $\Leftrightarrow$ (δ) 显然．
(α) $\Leftrightarrow$ (ε)： $g^{-1}Ng=N\;\Leftrightarrow\;Ng=gN$．
(ε) $\Leftrightarrow$ (ζ)：
〔$\Rightarrow$〕显然；
由 (δ) 有，$\forall\;g\in G,\;\exists\;g’\in G,\quad gN=Ng’$，
因为 $e\in N$，所以 $g=ge\in gN=Ng’$，
又因为 $g=eg\in Ng$，所以 $Ng=Ng’=gN$．
(δ) $\Leftrightarrow$ (η)：
记 $n\in N$ 的共轭类为 $[n]$，因为 $\forall\;n\in N,\quad [n]\subseteq N$，所以 $\displaystyle\bigsqcup_{n\in N}\;[n]\subseteq N$，
又因为 $\forall\;n\in N,\quad n\in [n]$，所以 $N\subseteq\displaystyle\bigsqcup_{n\in N}\;[n]$，
进而得证 $\displaystyle\bigsqcup_{n\in N}\;[n]=N$；
〔$\Leftarrow$〕显然．
■
〔例〕：
任一阿贝尔群 $G$ 的所有子群都是其正规子群，因为 $\forall\;H\leq G,\,g\in G,\quad gH=Hg$．
任一群 $G$ 的中心 $\mathrm Z(G)$ 都是其正规子群，可由中心的定义得知．
设 $G$ 为群，$N<M<G$，则
$N\lhd G\;\Rightarrow\;N\lhd M$ 必然成立，而
$N\lhd M,\;M\lhd G\;\Rightarrow\; N\lhd G$ 不一定成立，即正规子群的关系是非传递的．
前一条的证明可由正规子群的定义显然得出，而后一条可以通过构造反例证明（将在后续的文章给出）．
〔定理 6.2〕：
$N\unlhd G\;\Leftrightarrow$ 存在群同态 $\varphi:G\to H$，使得 $N=\operatorname{Ker} \varphi$．
〔证明〕：
〔$\Rightarrow$〕：定义映射 $\pi:G\to G/N,\quad a\mapsto aN$，易证该映射为群同态，则显然 $\operatorname{Ker} \pi=N$．
〔$\Leftarrow$〕：
若 $N=\operatorname{Ker}\varphi$，则 $\forall\;g\in G,\;n\in N$，有
$\varphi(g^{-1}ng)=\varphi(g)^{-1}\varphi(n)\varphi(g)$ $=\varphi(g)^{-1}e\varphi(g)=e$，
从而得知 $g^{-1}Ng\subseteq\operatorname{Ker} \varphi=N$．
同理可证 $gNg^{-1}\subseteq\operatorname{Ker}\varphi=N$，即 $N\subseteq=g^{-1}Ng$，
所以 $N=g^{-1}Ng$，即得证 $N\unlhd G$．
■
- 不难看出，这里所定义的映射 $\pi$ 是满同态，称为典范满同态（canonical epimorphism）．
Catervae Quotientis 商群
设 $N\unlhd G$，记 $\overline a=aN=Na$（群对其正规子群的左右陪集相等），集合 $\overline G=\{\overline a\mid a\in G\}$．
定义其上的二元运算 $\overline a\cdot \overline b:=\overline{ab}$，则可得
若 $\overline\alpha=\overline a,\;\overline\beta=\overline b$，即 $\alpha N=aN,\quad\beta N=bN$，
则 $\overline{\alpha\beta}=\alpha\beta N=\alpha\beta NN$(4)$=\alpha N\beta N=aNbN=\overline{ab}$，
由此可知该运算定义良好．
可以判断，集合 $\overline G$ 对于该运算形成群：
（封闭性）： 因为 $\forall\;a,\,b\in G,\quad ab\in G$，所以 $\forall\;\overline a,\,\overline b,\quad \overline{ab}\in\overline G$；
（结合性）： $\forall\;\overline a,\,\overline b,\,\overline c\in\overline G,\quad$$(\overline a\cdot\overline b)\cdot\overline c=\overline{(ab)c}=((ab)c)N=(a(bc))N=\overline{a(bc)}=\overline a\cdot(\overline b\cdot\overline c)$；
（单位元）：
因为 $e\in G$，所以 $\overline e=eN=N\in\overline G$，
$\forall\;a\in G,\quad$$\overline a\cdot\overline e=\overline{ae}=\overline a=\overline{ea}=\overline e\cdot\overline a$；
（逆元）：
$\forall\;a\in G,\quad$$\overline{a^{-1}}\cdot\overline a=\overline{a^{-1}a}=\overline e=\overline{aa^{-1}}=\overline a\cdot\overline{a^{-1}}$，
由此得，$\forall\;a\in G,\;\exists\;\overline{a^{-1}}=\overline a^{-1}\in G$．
由此，〔定义〕：
$\overline G=\{aN=Na\mid a\in G\}$ 称为群 $G$ 对正规子群 $N$ 的商群（quotient group）或因子群（factor group），记作 $G/N$ (5)．$G/N$ 是关于正规子群 $N$ 的所有左陪集或右陪集所成的集族．
- 若 $G$ 为有限群，则 $|G/N|=[G:N]=|G|/|N|$．
〔例〕：
考虑实数加法群 $(\mathbb R,\,+)$，它是阿贝尔群，所以其任一子群均为正规子群．取 $2\mathbb R:=\{2k\mid k\in\mathbb R\}$，有 $2\mathbb R\lhd \mathbb R$．$\mathbb R$ 对于该子群的陪集形式为 $\ell+2\mathbb R=2\mathbb R+\ell=\{2k+\ell\mid k,\,\ell\in\mathbb R\}=\mathbb R\quad(\ell\in\mathbb R)$，于是商群 $\mathbb R/2\mathbb R=\{\mathbb R\}$ 为平凡群．又，$\{0\}$ 是 $(\mathbb R,\,+)$ 的一个平凡正规子群，$\mathbb R$ 对其陪集形式为 $k+\{0\}=\{0\}+k=\{k\}\quad(k\in\mathbb R)$，于是商群 $\mathbb R/\{0\}=\{\{k\mid k\in\mathbb R\}\}$ 亦为平凡群．
考虑 $\mathbb R$ 上的 $n$ 次一般线性群 $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$，其中心为 $n$ 阶实数量矩阵所成的子群 $\{k𝑰_n\mid k\in\mathbb R\setminus\{0\}\}=:N$，且该子群为正规子群．$\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ 对于子群 $N$ 的陪集形式为 $𝑴N=N𝑴=\{k𝑴\mid k\in\mathbb R\setminus\{0\},\;𝑴\in \mathrm{GL}_n\mathbb(R)\}$，即某一 $n$ 阶可逆实方阵与所有非零实数的乘积所成集合，于是商群 $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)/N=\{\{k𝑴\mid k\in\mathbb R\setminus\{0\}\}\mid 𝑴\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)\}$．
Quadri-Caterva Kleini Klein 四元群
〔定义〕：
设集合 $V=\{e,\,a,\,b,\,c\}$ 关于乘法形成群， $e$ 为单位元，且有
$\forall\;x\in V,\quad x^2=e$，
$ab=ba=c$，
这样的群 $V$ 称为 Klein（克莱因）(6)四元群（Klein four-group，或以德语原名 Vierergruppe “四之群” 称之），一些资料中也会记作 $K_4$．
随之而有群论中的一个重要事实，任一 $4$ 阶群均同构于 Klein 四元群或 $4$ 阶循环群其一，即犹言 $4$ 阶群本质上只有 Klein 四元群与 $4$ 阶循环群两个，这同时也说明 Klein 四元群是阶数最低的非循环群（质数阶群均为循环群）．
对上述事实可以证明如下：
设 $G$ 为 $4$ 阶群，记 $4$ 阶循环群为 $C_4$，
若存在 $g\in G,\;|g|=4$，则 $G\cong C_4$．
否则其所有非单位元的阶均为 $2$， （Th. 3.4）
从而任取非单位元 $a\in G$，有 $a^2=e$，且 $a=a^{-1}$，
于是 $\langle a\rangle=\{e,\,a\}$ 为 $2$ 阶循环群，且 $\langle a\rangle\lhd G$（阿贝尔群均为正规子群），
从而商群 $\overline G:=G/\langle a\rangle$ 的阶为 $\dfrac{|G|}{|\langle a\rangle|}=2$，
令 $\overline G=\{\langle a\rangle,\,b\langle a\rangle\}$，而 $b\langle a\rangle=\langle a\rangle b=\{b,\,ab=ba\}$，且 $b\in G\setminus\langle a\rangle$，
所以 $b\neq e$，且 $b\neq a$，而因为 $ab\langle a\rangle=\langle a\rangle b\langle a\rangle=b\langle a\rangle$，所以 $ab\not\in\langle a\rangle$，即 $ab\neq e,\;ab\neq a$，
又因为 $a\neq e$，所以 $ab\neq b$，所以 $ab$ 为 $G$ 中不等于 $e,\,a,\,b$ 的元素，记作 $c$，则 $G=\{e,\,a,\,b,\,c\}$，即 Klein 四元群．
■
- 对所有非单位元 $a\in V$，商群 $V/\langle a\rangle=\{\langle a\rangle,\,b\langle a\rangle\}$．
- $ac=ca=a^2b=eb=b$，$bc=cb=b^2a=ea=a$．
Problemata 习题
〔6.A〕：
证明 对于群 $G$ 的所有指数为 $2$ 的子群 $H$，都有 $H\lhd G$．
〔参考解答〕：
因为 $[G:H]=2$，所以考虑陪集分解，对于任一 $g\in G\setminus H$，均有 $G=H\sqcup gH=H\sqcup Hg$，从而 $gH=Hg$，这就证明了 $H\lhd G$．
■
〔6.B〕：
证明 若群 $G$ 对其中心 $\mathrm Z(G)$ 的商群 $G/\mathrm Z(G)$ 为循环群，则 $G$ 为阿贝尔群．
〔参考解答〕：
设 $G/\mathrm Z(G)=\langle g\mathrm Z(G)\rangle\;(g\in G\setminus\mathrm Z(G))$，则 $\forall\;a,\,b\in G,\;$ $\exists\;c,\,d\in \mathrm Z(G),\;m,\,n\in\mathbb N,\quad$ $a=g^mc,\;b=g^nd$，
从而 $ab=g^mcg^nd$，由中心元素的交换性可知 $ab=g^ndg^mc=ba$，得证．
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Annotationes 注释
(1). 不少资料中无论是否有 $N=G$，均只记作 $N\lhd G$．此处为了保持符号的系统性（参考 $\subseteq\;\leq$）而区分二者． ↩
(2). 因此早期的资料也称正规子群为不变子群（invariant subgroup）． ↩
(3). 由此早期的资料也称正规子群为自共轭子群（self-conjugated subgroup）． ↩
(4). 因为 $N\leq G$，所以 $NN=\{ab\mid a,\,b\in N\}$，并且群中任一元素均可用两个元素的乘积表示（考虑 $\forall\; a\in G,\quad a=ae$），从而 $NN=N$．这一性质对任何子群均适用，并且由此可以类推得到：$H\leq G\;\Rightarrow\;H=HH=H\cdots H$（任意有限个 $H$）． ↩
(5). 英语中读作 $G$ mod $N$． ↩
(6). 菲利克斯·克莱因（Felix Klein），德国数学家，主要贡献于非欧几何与群论等领域，其提出的 Klein 瓶（Klein bottle）是无定向平面的知名例子． ↩