本文介绍拉丁语发音与拼写，设计古典拉丁语及以后的拉丁语形式。文中均使用国际音标（IPA）表示发音，其中斜线所含者（/…/）表示音位描写，方括号所含者（[…]）表示音值描写。 Alphabetum 字母表古典拉丁语使用基本拉丁字母（如英语）中除去 J, U, W 外的 23 个，原本只有大写形式，后来在手写中产生小写形式。 J 原为 I 的装饰性写法，文艺复兴时期引入，并主要用于表示 I 的辅音性用法。 U 原为 V 在手写时产生的圆滑写法，在中世纪晚期起代替 V 的元音性用法。 W 为日...
De Logica Mathematica 02 // 数理逻辑笔记 〇二：一阶语言的语义
Structurae & Interpretationes 结构与解释〔定义 2.1〕： 设 $S$ 为符号集，$S$–结构（$S$-structure）是具有下述性质的二元组 $\mathfrak A=(A,\,\mathfrak a)$： (α) $A$ 是非空集合，称为 $\mathfrak A$ 的论域（domain）或全集（universe）； (β) $\mathfrak a$ 是定义于 $S$ 的映射，满足以下条件： &e...
De Logica Mathematica 01 // 数理逻辑笔记 〇一：一阶语言的句法
Linguae Ordinis-Primi 一阶语言由符号（symbol）组成的非空集合称为字母表（alphabet）．字母表 $\mathcal A$ 中的符号所组成有限长序列称为 $\mathcal A$ 上的字符串（string）或词语（word）．$\mathcal A$ 上的所有字符串所组成的集合记作 $\mathcal A^\ast$．任一字符串 $\zeta\in\mathcal A^\ast$ 中所含的符号数量（计算重复的符号）称为 $\zeta$ 的长度（length）...
De Algebra Lineari 05 // 线性代数笔记 〇五：特征值与特征向量
Valores Proprii & Vectores Proprii 特征值与特征向量〔定义〕： 设 $T\in\mathcal L(V)$，若 $V$ 的子空间 $U$ 满足 $𝒖\in U\Rightarrow T(𝒖)\in U$，则称 $U$ 为 $V$ 对于 $T$ 的不变子空间（invariant subspace）． 对任一向量空间 $V$，子空间 $\{\mathbf 0\},\;V,\;\ker T,\;\operatorname{Im} T$ 均为...
De Algebra Lineari 04 // 线性代数笔记 〇四：多项式
Polynomia 多项式〔定理 4.1〕： 设 $a_0,\,a_1,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb F$，若对任意 $x\in\mathbb F$ 均有 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$， 则 $a_0=a_1=\cdots=a_n=0$． 〔证明〕： 以反证法假设这些系数不全为 $0$，在此前提下设 $a_n\neq0$(1)．令 $x=\dfrac{\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|...
De Algebra Lineari 03 // 线性代数笔记 〇三：线性变换
Transformationes Lineares 线性变换〔定义〕： 设 $V,\;W$ 是向量空间，具有以下性质的映射 $T:V\to W$ 称为从 $V$ 到 $W$ 的一个线性变换（linear transformation）或线性映射（linear map）： 可加性（additivity）：$\forall\;𝒖,\,𝒗\in V,\quad T(𝒖+𝒗)=T(𝒖)+T(𝒗)$； 齐次性（homogeneity）：$\forall\;k\in\...
De Algebra Lineari 02 // 线性代数笔记 〇二：有限维向量空间
Coopertura 线性生成空间〔定义〕： 向量列表 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$(1) 的线性组合（linear combination）是任一如下形式的向量： $a_1𝒗_1+a_2𝒗_2+\cdots+a_n𝒗_n$， 其中 $a_i\in\mathbb F,\;\forall\;1\leq i\leq n$． 〔定义〕： 一组向量 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 的所...
De Algebra Lineari 01 // 线性代数笔记 〇一：向量空间
Praefatio 前言本系列笔记的内容包括线性代数的进阶部分，以线性变换相关概念为主，而基础的线性代数内容在此不详言或直接略去．笔记内容基于 Axler Sheldon Jay 的《Linear Algebra Done Right》（引进版汉译：《线性代数应该这么学》），并参考其他资料． 本文仅仅是学习笔记，主要为整理书中内容并按个人理解稍作修改而成，限于学识而错误在所难免，望指正． Tabula Symbolorum 符号表 符号 意义 $\mathbb R,\,\ma...
De Algebra Abstracta 09 // 抽象代数笔记 〇九：群作用
前：抽象代数笔记 〇八：置换群与单群 Actiones Catervarum 群作用〔定义〕： 设 $A$ 为集合，$G$ 为群．定义映射 $f:G\times A\to A$ 称为 $G$ 与 $A$ 的（二元）运算，并记 $f(g,\;a):=ga\quad(g\in G,\;a\in A)$．若如此定义的运算满足以下两点： (α) $\forall\;a\in A,\quad ea=a$， (β) $\foral...
De Algebra Abstracta 08 // 抽象代数笔记 〇八：置换群与单群
前：抽象代数笔记 〇七：同态与同构定理 后：抽象代数笔记 〇九：群作用 Cycli & Permutationes 轮换与置换〔定义〕： 设有限集(1) $X$ 上的映射 $f$，若存在 $X$ 的子集 $A=\{a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_\ell\}$ 使得对任意 $a_i\in A$，有 $f(a_\ell)=\begin{equation} \left\{\begin{aligned}&a_{i+1},& i&a...