De Algebra Lineari 03 // 线性代数笔记〇三：线性变换

2021-08-28 Mathematica PV:

Transformationes Lineares 线性变换

〔定义〕：

设 $V,\;W$ 是向量空间，具有以下性质的映射 $T:V\to W$ 称为从 $V$ 到 $W$ 的一个线性变换（linear transformation）或线性映射（linear map）：

可加性（additivity）：$\forall\;𝒖,\,𝒗\in V,\quad T(𝒖+𝒗)=T(𝒖)+T(𝒗)$；

齐次性（homogeneity）：$\forall\;k\in\mathbb F,\;𝒗\in V,\quad T(k𝒗)=k\cdot T(𝒗)$．

〔记号〕：

从 $V$ 到 $W$ 的所有线性变换之集合记为 $\mathcal L(V,\,W)$．

〔定理 3.1〕：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 和 $𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 分别是向量空间 $V$ 和 $W$ 的基，则唯一存在线性变换 $T:V\to W$ 使得对任一 $1\leq i\leq n$，均有 $T(𝒗_i)=𝒘_i$．

〔证明〕：

定义 $T:V\to W$ 使得对于任意 $c_1,\,c_2,\,\cdots,\,c_n\in\mathbb F$，有 $T(\sum_{i=1}^n c_i𝒗_i)=\sum_{i=1}^n c_i𝒘_i$，由于 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是 $V$ 的基，因此该映射是良定义的⁽¹⁾．选择一个 $1\leq j\leq n$，使得 $c_j=1$，并使 $c_1,\,c_2,\,\cdots,\,c_n$ 中 $c_j$ 之外的数量均为 $0$，于是有 $T(𝒗_j)=𝒘_j$．不难验证这是一个线性变换．

又设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，使得对于任一 $1\leq i\leq n$ 均有 $T(𝒗_i)=𝒘_i$．设 $c_1,\,c_2,\,\cdots,\,c_n\in\mathbb F$ ，有 $T(c_i𝒗_i)=c_i𝒘_i$，进而 $T(\sum_{i=1}^n c_i𝒗_i)=\sum_{i=1}^n c_i𝒘_i$．因此 $T$ 在 $\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$ 上可唯一定义，而 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是 $V$ 的基，因此这样的线性变换在 $V$ 上是唯一的．

■

〔定义〕：

设 $S,\,T\in \mathcal L(V,\,W)$，$k\in\mathbb F$．定义 $S$ 与 $T$ 的和（加法）$S+T:𝒗\mapsto S(𝒗)+T(𝒗)$，以及 $k$ 与 $T$ 的积（数乘）$kT:𝒗\mapsto k\cdot T(𝒗)$．

不难证明如此定义的和与积均为线性变换．

〔定理 3.2〕：

按如上方法定义线性变换的加法与数乘，则对任意两个向量空间 $V$ 和 $W$，$\mathcal L(V,\,W)$ 总是向量空间．

证明略．

〔定义〕：

设 $S\in\mathcal L(V,\,W)$，$T\in\mathcal L(U,\,V)$，定义 $S$ 与 $T$ 的积 $ST:𝒗\mapsto S(T(𝒗))$，即 $S$ 与 $T$ 的复合映射．

线性变换的积具有如下性质（证明略）：

结合律：设线性变换 $R\in\mathcal L(W,\,X)$，$S\in\mathcal L(V, W)$，$T\in\mathcal L(U,\,V)$ ，则有 $(RS)T=R(ST)$；
恒等变换：设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，则有 $I_1T=TI_2=T$，其中 $I_1:W\to W,\quad 𝒙\mapsto𝒙$，$I_2:V\to V,\quad 𝒙\mapsto 𝒙$；
分配律Ⅰ：设线性变换 $R,\,S\in\mathcal L(V, W)$，$T\in\mathcal L(U, V)$，则有 $(R+S)T=RT+ST$；
分配律Ⅱ：设线性变换 $R\in\mathcal L(V,\,W)$，$S,\,T\in\mathcal L(U,\,V)$，则有 $R(S+T)=RS+RT$．

〔定理 3.3〕：

对任一线性变换 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，恒有 $T(\mathbf 0)=\mathbf 0$．

证明显然．

Spatia Nihili & Imagines 零空间与像

〔定义〕：

设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，所有会被 $T$ 映射为 $\mathbf 0$ （这里的 $\mathbf 0$ 指的是 $W$ 中的零向量）的向量 $𝒗\in V$ 所成集合，称为线性变换 $T$ 的零空间（null space）或核（kernel），记为 $\ker T$，即

$\ker T:=\{𝒗\in V\mid T(𝒗)=\mathbf 0\}$．

不难证明对任一从 $V$ 到 $W$ 的线性变换，其零空间均为 $V$ 的子空间．

〔定理 3.4〕：

设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，$T$ 是单射当且仅当 $\ker T=\{\mathbf 0\}$．

〔证明〕：

设 $𝒗\in\ker T$，则 $\ker(𝒗)=\mathbf 0=T(\mathbf 0)$．由单射的性质，有 $𝒗=\mathbf 0$．

反之，设 $\ker T=\{\mathbf 0\}$，又设 $𝒗,\,𝒘\in V$ 满足 $T(𝒗)=T(𝒘)$．于是 $\mathbf 0=T(𝒗)-T(𝒘)=T(𝒗-𝒘)$，进而 $𝒗=𝒘$，得证 $T$ 是单射．

〔定义〕：

设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，$V$ 中所有向量 $𝒗$ 经过 $T$ 的映射后所得向量的集合，称为线性变换 $T$ 的像（image）或值域（range），记为 $\operatorname{Im}T$，即

$\operatorname{Im}T:=\{T(𝒗)\mid 𝒗\in V\}$．

不难证明对任一从 $V$ 到 $W$ 的线性变换，其像均为 $W$ 的子空间．

〔定理 3.5〕秩–零化度定理（rank–nullity theorem）：

设 $V$ 是有限维向量空间，$T\in\mathcal L(V,\,W)$，则 $T$ 的像是有限维的，并且

$\dim V=\dim \ker T+\dim \operatorname{Im}T$．

〔证明〕⁽²⁾：

设 $𝒛_1,\,𝒛_2,\,\cdots,\,𝒛_m$ 是 $\ker T$ 的基，即 $\dim\ker T=m$．通过添加 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n\in V$，可以使向量组 $𝒛_1,\,\cdots,\,𝒛_m,\,𝒗_1,\,\cdots,\,𝒗_n$ 成为 $V$ 的基，于是有 $\dim V=m+n$．

令 $𝒗\in V$．由于 $V=\mathrm{span}(𝒛_1,\,\cdots,\,𝒛_m,\,𝒗_1,\,\cdots,\,𝒗_n)$，因此存在 $a_1,\,\cdots,\,a_m,\,b_1,\,\cdots,\,b_n\in\mathbb F$，使得

$𝒗=a_1𝒛_1+\cdots+a_m𝒛_m+b_1𝒗_1+\cdots+b_n𝒗_n$．

由线性变换的性质可得

$T(𝒗)=a_1T(𝒛_1)+\cdots+a_mT(𝒛_m)+b_1T(𝒗_1)+\cdots+b_nT(𝒗_n)$，

并且因为 $𝒛_1,\,𝒛_2,\,\cdots,\,𝒛_m\in\ker T$，有

$T(𝒗)=b_1T(𝒗_1)+\cdots+b_nT(𝒗_n)$，

这说明了 $\operatorname{Im}T=\mathrm{span}(T(𝒗_1),\,T(𝒗_2),\cdots,\,T(𝒗_n))$，因此 $\operatorname{Im}T$ 是有限维的．

又设 $c_1,\,c_2,\,\cdots,\,c_n\in\mathbb F$，使得

$c_1T(𝒗_1)+c_2T(𝒗_2)+\cdots+c_nT(𝒗_n)=\mathbf 0$，

则有

$T(c_1𝒗_1+c_2𝒗_2+\cdots+c_n𝒗_n)=\mathbf 0$，

这意味着 $c_1𝒗_1+c_2𝒗_2+\cdots+c_n𝒗_n\in\ker T$，由于 $𝒛_1,\,𝒛_2,\,\cdots,\,𝒛_m$ 是 $\ker T$ 的基，因此存在 $d_1,\,d_2,\,\cdots,\,d_m\in\mathbb F$，使得 $\sum_{i=1}^n c_i𝒗_i=\sum_{i=1}^m d_i𝒛_i$，由于 $𝒛_1,\,\cdots,\,𝒛_m,\,𝒗_1,\,\cdots,\,𝒗_n$ 线性无关（是 $V$ 的基），由此可推知 $c_1=\cdots=c_n=d_1=\cdots=d_m=0$，从而 $T(𝒗_1),\,T(𝒗_2),\,\cdots,\,T(𝒗_n)$ 是 $\operatorname{Im}T$ 的基，$\dim \operatorname{Im}T=n$．

综上有 $\dim V=m+n=\dim\ker T+\dim \operatorname{Im}T$．

■

$\dim \operatorname{Im}T$ 称为线性变换 $T$ 的秩（rank），$\dim\ker T$ 称为线性变换 $T$ 的零化度（nullity）．

〔定理 3.6〕：

设 $V,\;W$ 是有限维向量空间，

若 $\dim V>\dim W$，则所有从 $V$ 到 $W$ 的线性变换均非单射．

若 $\dim V<\dim W$，则所有从 $V$ 到 $W$ 的线性变换均非满射．

由秩–零化度定理立即得证．

〔定理 3.7〕：

变量数多于方程数的齐次线性方程组有非零解．

〔证明〕：

考虑 $m$ 个方程的 $n$ 元齐次方程组，记第 $i$ 个方程中变量 $x_k$ 的系数为 $c_{i,k}\in\mathbb F$，则方程组可写为

$\left\{\begin{aligned}\sum_{k=1}^n c_{1,k}x_k&=0,\\
\vdots\\
\sum_{k=1}^n c_{m,k}x_k&=0.\end{aligned}\right.$

定义 $T:\mathbb F^n\to\mathbb F^m$，满足 $T(x_1,\,\cdots,\,x_n)=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n c_{1,k}x_k,\,\cdots,\,\sum_{k=1}^n c_{m,k}x_k\right)$，不难证明这是一个线性变换⁽³⁾．于是上述方程组可以写为 $T(x_1,\,\cdots,\,x_n)=(0,\,\cdots,\,0)=\mathbf 0$（这里的 $\mathbf 0$ 是 $m$ 维零向量）．

已知 $n>m$，则 $T$ 不是单射，因此 $\ker T\neq\{\mathbf 0\}$（Th. 3.4），即意味着方程组有非零解．

■

〔定理 3.8〕：

选择特定的常数项，可能使得方程数变量数多于的非齐次线性方程组无解．

〔证明〕：

考虑 $m$ 个方程的 $n$ 元非齐次方程组，记第 $i$ 个方程中变量 $x_k$ 的系数为 $c_{ik}\in\mathbb F$，常数项为 $b_i\in\mathbb F$，则方程组可写为

$\left\{\begin{aligned}\sum_{k=1}^n c_{1,k}x_k&=b_1,\\
\vdots\\
\sum_{k=1}^n c_{m,k}x_k&=b_m.\end{aligned}\right.$

定义 $T:\mathbb F^n\to\mathbb F^m$，满足 $T(x_1,\,\cdots,\,x_n)=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n c_{1,k}x_k,\,\cdots,\,\sum_{k=1}^n c_{m,k}x_k\right)$，不难证明这是一个线性变换．于是上述方程组可以写为 $T(x_1,\,\cdots,\,x_n)=(b_1,\,\cdots,\,b_m)$．

已知 $n<m$，则 $T$ 不是满射，因此存在向量 $𝒃\in\mathbb F^m$ 使得不存在 $𝒙\in\mathbb F^n$ 满足 $T(𝒙)=𝒃$．

■

Matrices 矩阵

〔定义〕：

设 $m,\,n\in\mathbb Z^+$，$m$ 行 $n$ 列的矩阵（array），或称 $m\times n$ 矩阵，是具有如下形式的矩形数组：

$𝑨=\begin{bmatrix}
\;A_{1,1}&A_{1,2}&\cdots&A_{1,n}\;\\
\;A_{2,1}&A_{2,2}&\cdots&A_{2,n}\;\\
\;\vdots&\vdots &&\vdots\;\\
\;A_{m,1}&A_{m,2}&\cdots&A_{m,n}\;
\end{bmatrix}$．

今后默认以粗体字母表示矩阵（如 $𝑨,\;𝑩,\;𝑪$），对应的细体字母加以下标 $i,j$ 表示相应矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素（如 $A_{1,2}$ 表示矩阵 $𝑨$ 第 $1$ 行第 $2$ 列的元素）．

矩阵的元素也称为项（entry）．

〔定义〕：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是向量空间 $\mathbb F^n$ 的基，若对任一 $1\leq i\leq n$，基向量 $𝒗_i$ 满足以下条件：$𝒗_i$ 的第 $i$ 分量为 $1$，其余分量均为 $0$，则称之为 $\mathbb F^n$ 的标准基（standard basis）．

对于多项式空间 $\mathcal P_n(\mathbb F)$ 的情况，则选定 $(1,\,x,\,x^2,\,\cdots,\,x^n)$ 为其标准基．而 $\mathcal P(\mathbb F)$ 的标准基选定为 $(1,\,x,\,x^2,\,x^3,\,\cdots)$．

〔定义〕：

设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，$𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是 $V$ 的基，$𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_m$ 是 $W$ 的基．设 $𝑨$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，其中元素满足如下定义：

$T(𝒗_k)=A_{1,k}𝒘_1+A_{2,k}𝒘_2+\cdots+A_{m,k}𝒘_m$，其中 $1\leq k\leq n$，

如此定义的矩阵称为线性变换 $T$ 在相应的基中对应的矩阵，记为 $\mathcal M(T,\,(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n),\,(𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_m))$．特别地，在基明确的情况下（如果是 $\mathbb F^n$，通常是标准基）简称之为线性变换 $T$ 的矩阵，记为 $\mathcal M(T)$．

〔例〕：

设线性变换 $T:\mathbb F^2\to\mathbb F^3,\quad(x,\,y)\mapsto(x+3y,\,2x+5y,\,8y)$，则 $\mathcal M(T)=\begin{bmatrix}\;1&3\;\\\;2&5\;\\\;0&8\;\end{bmatrix}$．

设线性变换 $D:\mathcal P_3(\mathbb R)\to \mathcal P_2(\mathbb R),\quad p\mapsto p’$（$p’$ 为 $p$ 的导数），则 $\mathcal M(D)=\begin{bmatrix}\;0&1&&\;\\\;0&&2&\;\\\;0&&&3\;\end{bmatrix}$．

设 $S,\,T\in\mathcal L(V,\,W)$，则 $\mathcal M(S+T)=\mathcal M(S)+\mathcal M(T)$．
设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，$k\in\mathbb F$，则 $\mathcal M(kT)=k\mathcal M(T)$．⁽⁴⁾
设 $S\in\mathcal L(V,\,W)$，$T\in\mathcal L(U,\,V)$，则 $\mathcal M(ST)=\mathcal M(S)\mathcal M(T)$．

〔定理 3.9〕：

$\dim \mathbb F^{m,n}=mn$，其中 $\mathbb F^{m,n}$ 指 $\mathbb F$ 上 $m\times n$ 的矩阵集合（不难证明这是一个向量空间）．

证明略．

〔定义〕：

$1\times n$ 的矩阵称为 $n$ 维的行向量（row vector），$n\times 1$ 的矩阵称为 $n$ 维的列向量（column vector）．⁽⁵⁾

今后将矩阵 $𝑨$ 中第 $i$ 行的行向量记为 $𝑨_{i\ast}$，第 $j$ 列的列向量记为 $𝑨_{\mathcal \ast j}$．

Invertibilitas 可逆性

〔定义〕：

设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，若存在 $S\in\mathcal L(W,\,V)$ 使得 $ST$ 是 $W$ 上的恒等映射，$TS$ 是 $V$ 上的恒等映射，则称 $T$ 是可逆（invertible）的，而 $S$ 是线性变换 $T$ 的逆（inverse），记为 $T^{-1}$．

不难证明，任一可逆的线性变换的逆是唯一的．

〔定理 3.10〕：

线性变换可逆当且仅当它是双射．

〔证明〕：

设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$．

先设 $T$ 可逆，$S:=T^{-1}$，$𝒗_1,\,𝒗_2\in V$，使得 $T(𝒗_1)=T(𝒗_2)$，则 $𝒗_1=ST(𝒗_1)=ST(𝒗_2)=𝒗_2$，因此 $T$ 是单射．设 $𝒘\in W$，则恒有 $TS(𝒘)=𝒘$，意味着 $\operatorname{Im}T=W$，因此 $T$ 是满射．综上，$T$ 是双射．

反之，设 $T$ 是双射．设映射 $S:W\to V$，使得对任意 $𝒘\in W$，都有 $S(𝒘)\in V$，使得 $T(S(𝒘))=𝒘$（$T$ 是双射，因此保证了这样的映射唯一存在）．于是 $TS$ 是 $W$ 上的恒等映射．又因为对任意 $𝒗\in V$，具有 $T(ST(𝒗))=(TS)(T(𝒗))=T(𝒗)$，所以 $ST$ 是 $V$ 上的恒等映射．不难证明 $S$ 是线性变换，由此便得证 $T$ 是可逆的，$S=T^{-1}$．

■

Spatia Vectorum Isomorphica
同态向量空间

〔定义〕：

从 $V$ 到 $W$ 的可逆线性变换称为从 $V$ 到 $W$ 的一个同构映射，简称同构（isomorphism）．

若存在从 $V$ 到 $W$ 的同构映射，则称这两个向量空间同构（isomorphic），记为 $V\cong W$．

〔定理 3.11〕：

$\mathbb F$ 上的任意两个有限维向量空间 $V$ 和 $W$ 同构当且仅当 $\dim V=\dim W$．

〔证明〕：

设 $V$ 和 $W$ 同构，则存在同构映射 $T:V\to W$．$T$ 是可逆的，因此 $\ker T=\{\mathbf 0\}$，$\operatorname{Im}T=W$．由秩–零化度定理，有 $\dim V=\dim \ker T+\dim \operatorname{Im}T=0+\dim W=\dim W$，得证．

反之，设 $\dim V=\dim W=:n$．设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,𝒗_n$ 是 $V$ 的基，$𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 是 $W$ 的基．设线性变换 $T:V\to W,\quad \sum_{i=1}^n c_i𝒗_i\mapsto \sum_{i=1}^n c_i𝒘_i$，其中对任意 $1\leq i\leq n$ 有 $c_i\in\mathbb F$．由于 $𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 是 $W$ 的基，因此 $\operatorname{Im}T=W$，即 $T$ 是满射，并且 $\ker T=\{\mathbf 0\}$，即 $T$ 是单射．进而 $T$ 是双射，即 $T$ 是 $V$ 到 $W$ 的同构映射，得证 $V\cong W$．

〔定理 3.12〕：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n=:B_V$ 是向量空间 $V$ 的基，$𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_m=:B_W$ 是向量空间 $W$ 的基．则 $\mathcal L(V,\,W)\cong\mathbb F^{m,n}$，且 $M:\mathcal L(V,\,W)\to \mathbb F^{m,n},\quad T\mapsto\mathcal M(T,\,B_V,\,B_W)$ 是从 $\mathcal L(V,\, W)$ 到 $\mathbb F^{m,n}$ 的一个同构映射．

〔证明〕：

显然 $M$ 是线性变换．若 $T\in\mathcal L(V,\,W)$ 且 $M(T)=𝑶$，则对任意 $1\leq k\leq n$，总有 $T(𝒗_k)=\mathbf 0$．由于 $B_V$ 线性无关，因此 $T=0$⁽⁶⁾．由此，$M$ 是单射．

欲证 $M$ 为满射，设 $𝑨\in\mathbb F^{m,n}$，令线性变换 $T\in\mathcal L(V,\,W)$ 满足

$\displaystyle T(𝒗_k)=\sum_{i=1}^m A_{i,k}𝒘_i,\quad\forall\;1\leq k\leq n$，

显然 $M(T)=𝑨$，从而 $\operatorname{Im}M=\mathbb F^{m,n}$，因此 $M$ 是满射．

综上，$M$ 是从 $\mathcal L(V,\, W)$ 到 $\mathbb F^{m,n}$ 的一个同构映射，$\mathcal L(V,\,W)\cong\mathbb F^{m,n}$

■

〔定理 3.13〕：

设 $V,\;W$ 是有限维向量空间，则 $\mathcal L(V,\,W)$ 亦为有限维向量空间，且

$\dim\mathcal L(V,\,W)=(\dim V)(\dim W)$．

由 Th. 3.9，Th. 3.11，Th. 3.12 即得证．

Transformationes Lineares &
Multiplicatio Matricum
线性变换与矩阵乘法

〔定义〕向量的矩阵表示：

设向量空间 $V$，$𝒗\in V$，且 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m=:B_V$ 是 $V$ 的基．向量 $𝒗$ 关于这个基的矩阵是一个 $n$ 维列向量，记为 $\mathcal M(𝒗,\,B_V)$，在基明确的情况下简记为 $\mathcal M(𝒗)$．

设 $c_1,\,c_2,\,\cdots,\,c_m\in\mathbb F$ 满足 $𝒗=\sum_{i=1}^m c_i𝒗_i$，则

$\mathcal M(𝒗)=\begin{bmatrix}\;c_1\;\\\;c_2\;\\\vdots\;\\\;c_m\;\end{bmatrix}$．

设 $T\in\mathcal L(V,\, W)$，且 $𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n=:B_W$ 是 $W$ 的基，则 $\mathcal M(T)_{\ast k}=\mathcal M(𝒗_k,\,B_W),\quad \forall\;1\leq k\leq n$．

〔定理 3.14〕：

设向量空间 $V$ 和 $W$ 的基分别为 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m$ 和 $𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_m$．又设 $T\in\mathcal L(V,\, W)$，$𝒗\in V$．于是

$\mathcal M(T(𝒗))=\mathcal M(T)\mathcal M(𝒗)$．

〔证明〕：

设 $c_1,\,c_2,\,\cdots,\,c_m\in\mathbb F$ 使得 $𝒗=\sum_{i=1}^m c_i𝒗_i$，于是

$\displaystyle T(𝒗)=\sum_{i=1}^m c_iT(𝒗_i)$，

从而由线性变换的性质有

$\begin{aligned}
\mathcal M(T(𝒗))&=\sum_{i=1}^m c_i\mathcal M(T(𝒗_i))\\
&=\sum_{i=1}^m c_i\mathcal M(T)_{\ast i}\\
&=\mathcal M(T)\mathcal M(𝒗).
\end{aligned}$

■

Operatores 算子

〔定义〕：

从向量空间 $V$ 到自身的线性变换 $T$ 称为向量空间 $V$ 上的线性算子（linear operator）⁽⁷⁾或简称算子（operator）．$V$ 上算子的集合记为 $\mathcal L(V)$，即 $\mathcal L(V):=\mathcal L(V,\,V)$．

〔定理 3.15〕：

设 $V$ 是有限维向量空间，$T\in\mathcal L(V)$，以下命题等价：

$T$ 可逆；

$T$ 是单射；

$T$ 是满射．

〔证明〕：

显然 (1.) $\Rightarrow$ (2.)．

设 (2.) 成立，则 $\ker T=\{\mathbf 0\}$．由秩–零化度定理，$\dim V=\dim \operatorname{Im}T-\dim \ker T=\dim \operatorname{Im}T$，因此 $\operatorname{Im}T=V$，即 $T$ 是满射．得证 (2.) $\Rightarrow$ (3.)．

设 (3.) 成立，则 $\operatorname{Im}T=V$，同理有 $\dim\ker T=\dim \operatorname{Im}T-\dim V=0$，于是 $\ker T=\{\mathbf 0\}$，即 $T$ 是单射，而 $T$ 也是满射，所以 $T$ 可逆．得证 (3.) $\Rightarrow$ (1.)．

■

Producta Quotientesque
Spatiorum Vectorum
向量空间的积与商

〔定义〕：

设 $V_1,\,V_2,\,\cdots,\,V_n$ 是 $\mathbb F$ 上的向量空间，

$V_1\times V_2\times\cdots\times V_n:=\{(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)\mid 𝒗_i\in V_i,\;\forall\;1\leq i\leq n\}$

称为这些向量空间的积（product）．⁽⁸⁾

向量空间的积也是向量空间（加法与数乘的定义与一般的列表一致）．

〔定理 3.16〕：

设 $V_1,\,V_2,\,\cdots,\,V_n$ 是有限维向量空间，则

$\displaystyle\dim(V_1\times V_2\times\cdots\times V_n)=\sum_{i=1}^n \dim V_i$．

证明略．

〔定理 3.17〕：

设 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子空间，定义线性变换

$\varGamma:U_1\times\cdots\times U_n\to U_1+\cdots+U_n,\quad$ $(𝒖_1,\,\cdots,\,𝒖_n)\mapsto 𝒖_1+\cdots+𝒖_n$，

则 $U_1+\cdots+U_n$ 是直和，当且仅当 $\varGamma$ 是单射．

由 Th. 3.4 与 Th. 1.6（直和判定条件）即得证．

〔定理 3.18〕：

设 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，则 $U_1+\cdots+U_n$ 是直和，当且仅当

$\displaystyle\dim(U_1+\cdots+U_n)=\sum_{i=1}^n\dim U_i$．

〔证明〕：

定义线性变换

$\varGamma:U_1\times\cdots\times U_n\to U_1+\cdots+U_n,\quad$ $(𝒖_1,\,\cdots,\,𝒖_n)\mapsto 𝒖_1+\cdots+𝒖_n$，

不难得知 $\varGamma$ 是满射．由秩–零化度定理，当且仅当 $\varGamma$ 是单射，

$\dim(U_1\times\cdots\times U_n)=\dim (U_1+\cdots+U_n)$，

由 Th. 3.16 与 Th. 3.17 即得证．

■

〔定义〕：

设 $V$ 是向量空间，$𝒗\in V$，$U$ 是其子空间．

$𝒗+U:=\{𝒗+𝒖\mid 𝒖\in U\}$．

这样的集合称为 $V$ 的仿射子集（affine subset），并且称仿射子集 $𝒗+U$ 平行（parallel）于子空间 $U$．

〔定义〕：

设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子空间，$V$ 中所有平行于 $U$ 的仿射子集所成集合称为 $V$ 对于 $U$ 的商空间（quotient space），记为 $V/U$⁽⁹⁾．即

$V/U:=\{𝒗+U\mid 𝒗\in V\}$．

〔定理 3.19〕：

设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子空间，$𝒗,\,𝒘\in V$，则以下命题等价：

$𝒗-𝒘\in U$；

$𝒗+U=𝒘+U$；

$(𝒗+U)\cap(𝒘+U)\neq\varnothing$．

〔证明〕⁽¹⁰⁾：

设 (1.) 成立，则设 $𝒖\in U$，$𝒗+𝒖=𝒘+((𝒗-𝒘)+𝒖)\in 𝒘+U$，得 $𝒗+U\subseteq 𝒘+U$，同理又可得 $𝒘+U\subseteq 𝒗+U$，于是得证 $𝒗+U=𝒘+U$，即 (1.) $\Rightarrow$ (2.)．

(2.) $\Rightarrow$ (3.) 显然．

设 (3.) 成立，则存在 $𝒖_1,\,𝒖_2\in U$，使得 $𝒗+𝒖_1=𝒘+𝒖_2$，于是 $𝒗-𝒘=𝒖_2-𝒖_1\in U$，得证 (3.) $\Rightarrow$ (1.)．

■

〔定义〕：

设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子空间，商空间 $V/U$ 上的加法和数乘定义如下：

$\begin{aligned}(𝒗+U)+(𝒘+U)&:=(𝒗+𝒘)+U,\\
k(𝒗+U)&:=k𝒗+U,\phantom{\dfrac00}\end{aligned}$

其中 $𝒗,\,𝒘\in V$，$k\in\mathbb F$．

不难证明，这两个运算是良定义的，且任一商空间对于如此定义的加法与数乘均为向量空间．$V/U$ 上的加法单位元（零向量）是 $U$．

〔定义〕：

设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子空间，线性变换 $\pi:V\to V/U,\quad 𝒗\mapsto 𝒗+U$ 称为商映射（quotient map）．

〔定理 3.20〕：

设 $U$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，则

$\dim(V/U)=\dim V-\dim U$．

〔证明〕：

设商映射 $\pi:V\to V/U$，则 $\ker\pi= U$，而显然 $\pi(V)=V/U$，由秩–零化度定理，

$\dim V=\dim \operatorname{Im}\pi+\dim \ker\pi=\dim(V/U)+\dim U$．

■

〔记号〕：

设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，则记 $\tilde T: V/\ker T\to W,\quad 𝒗+\ker T\mapsto T(𝒗)$．

不难证明该映射是良定义的．

〔定理 3.21〕：

设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，则

$\tilde T$ 是线性变换；

$\tilde T$ 是单射；

$\operatorname{Im}T=\operatorname{Im}\tilde T$；

$V/\ker T\cong \operatorname{Im}T$．

〔证明〕：

(1.) 略．

(2.)：

设 $𝒗\in V$，且 $\tilde T(𝒗+\ker T)=\mathbf 0$，则 $T(𝒗)=\mathbf 0$．由此则 $𝒗\in\ker T$，所以 $𝒗+\ker T=\ker T$（Th. 3.19），于是 $\ker \tilde T=\ker T$（$\ker T$ 是 $V/\ker T$ 上的零向量），则可知 $\tilde T$ 是单射．

(3.) 依定义显然．

(4.)：

考虑 $\tilde T$ 为 $V/\ker T$ 到 $\operatorname{Im}T$ 的映射，而由 (2.) (3.) 可知 $\tilde T$ 是双射，因此 $\tilde T$ 是 $V/\ker T$ 到 $\operatorname{Im}T$ 的同构，即得 $V/\ker T\cong \operatorname{Im}T$．

■

Dualitas 对偶

〔定义〕：

从向量空间 $V$ 到域 $\mathbb F$ 的线性变换称为 $V$ 上的线性泛函（linear functional），即 $\mathcal L(V,\,\mathbb F)$ 的元素．

〔定义〕：

向量空间 $V$ 的对偶空间（dual space）是 $V$ 上所有线性泛函的集合，记为 $V’$，即 $V’:=\mathcal L(V,\,\mathbb F)$．

显然地，$\dim V’=\dim V$．

〔定义〕：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是向量空间 $V$ 的基，则这个基的对偶基（dual basis）是 $V’$ 上的向量组 $𝝋_1,\,𝝋_2,\,\cdots,\,𝝋_n$，其中各个元素 $𝝋_i\quad(1\leq i\leq n)$ 是满足以下条件的线性泛函：

$\forall\;1\leq i\leq n,\;1\leq\,j\leq n,\quad𝝋_i(𝒗_j)=\left\{\begin{aligned}1,\quad i=j,\\0,\quad i\neq j.\end{aligned}\right.$

不难证明，$V$ 上任一个基的对偶基确实为 $V’$ 上的一个基．

〔定义〕：

若 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，线性变换 $T’:W’\to V’,\quad 𝝋\mapsto 𝝋T$ 称为 $T$ 的对偶变换（dual transformation）或对偶映射（dual map），记为 $T’$．

$\forall\;S,\,T\in\mathcal L(V,\,W),\quad S’+T’=(S+T)’$．
$\forall\;T\in\mathcal L(V,\,W),\;k\in\mathbb F,\quad (kT)’=kT’$．
$\forall\;S\in\mathcal L(V,\,W),\;T\in\mathcal L(U,\,V),\quad (ST)’=T’S’$．⁽¹¹⁾

〔定义〕：

设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子集，则 $\{𝝋\in V’\mid 𝝋(𝒖)=0,\;\forall\;𝒖\in U\}$ 称为 $U$ 的零化子（annihilator），记为 $U^0$．

不难证明 $U^0$ 是 $V’$ 的子空间，其零向量为零线性泛函，即 $𝒗\mapsto 0$ 的映射．

〔定理 3.22〕：

设 $V$ 是有限维向量空间，$U$ 是其子空间，则

$\dim U+\dim U^0=\dim V$．

〔证明〕：

设线性变换 $I:U\to V,\quad 𝒖\mapsto 𝒖$，则 $I’$ 是从 $V’$ 到 $U’$ 的线性变换，由秩–零化度定理，有

$\dim V’=\dim\ker I’+\dim \operatorname{Im}I’$，

由定义，$\ker I’=U^0$．而由于 $\dim V’=\dim V$，因此有

$\dim V=\dim U^0+\dim \operatorname{Im}I’$．

设 $𝝋\in U’$，则 $𝝋$ 是从 $U$ 到 $\mathbb F$ 的泛函．由于 $U\subseteq V$，则必然存在一个泛函 $𝝍\in V’$ 使得对任意 $𝒖\in U$ 均有 $𝝋(𝒖)=𝝍(𝒖)$，而 $I’(𝝍)=𝝍I=𝝋$，因此 $𝝋\in \operatorname{Im}I’$，得 $\operatorname{Im}I’=U’$，因此 $\dim \operatorname{Im}I’=\dim U’=\dim U$，得

$\dim V=\dim U^0+\dim U$．

■

〔定理 3.23〕：

设 $V,\;W$ 是有限维向量空间，$T\in\mathcal L(V,\,W)$，则

$\ker T’=(\operatorname{Im}T)^0$；

$\dim\ker T’=\dim\ker T+\dim W-\dim V$．

〔证明〕：

(1.)：

设 $𝝋\in\ker T’$，则 $T’(𝝋)=𝝋T=\mathbf 0$（此处的 $\mathbf 0$ 是 $V’$ 中的零线性泛函），于是对任意 $𝒗\in V$，

$(T’(𝝋))(𝒗)=𝝋T(𝒗)=𝝋(T(𝒗))=0$，

得 $𝝋\in(\operatorname{Im}T)^0$，这意味着 $\ker T’\subseteq(\operatorname{Im}T)^0$．

又设 $𝝍\in(\operatorname{Im}T)^0$，则对任意 $𝒗\in V$，均有 $𝝍(T(𝒗))=0=𝝍T(𝒗)$，所以 $𝝍T=T’(𝝍)=\mathbf 0$，得 $𝝍\in\ker T’$，这意味着 $(\operatorname{Im}T)^0\subseteq\ker T’$．得证 $\ker T=(\operatorname{Im}T)^0$．

(2.)：

$\dim\ker T’=\dim(\operatorname{Im}T)^0=\dim W-\dim\operatorname{Im}T$（Th. 3.22）$=\dim W-(\dim V-\dim\ker T)=\dim\ker T+\dim W-\dim V$．

■

〔定理 3.24〕：

设 $V,\;W$ 是有限维向量空间，$T\in\mathcal L(V,\,W)$，则 $T$ 是满射当且仅当 $T’$ 是单射．

〔证明〕：

$T$ 是满射 $\Leftrightarrow\operatorname{Im} T=W$ $\Leftrightarrow (\operatorname{Im}T)^0=\{\mathbf 0\}$（$\mathbf 0$ 是 $W$ 上的零线性泛函）$\Leftrightarrow \ker T’=\{\mathbf 0\}$ $\Leftrightarrow$ $T’$ 是单射．

■

〔定理 3.25〕：

设 $V,\;W$ 是有限维向量空间，$T\in\mathcal L(V,\,W)$，则

$\dim\operatorname{Im}T’=\dim\operatorname{Im}T$；

$\operatorname{Im}T’=(\ker T)^0$．

〔证明〕：

(1.)：

由秩–零化度定理，有

$\dim\operatorname{Im}T’=\dim W’-\dim\ker T’$，

$\dim W’=\dim W$，并且由 Th. 3.23，有

$\dim\operatorname{Im}T’=\dim W-\dim(\operatorname{Im}T)^0$，

由 Th. 3.22，得

$\dim\operatorname{Im}T’=\dim\operatorname{Im}T$．

(2.)：

设 $𝝋\in\operatorname{Im}T’$，则存在 $𝝍\in W’$ 使得 $𝝋=T’(𝝍)$．

若 $𝒗\in\ker T$，则

$𝝋(𝒗)=(T’(𝝍))(𝒗)=(𝝍T)(𝒗)=𝝍(T(𝒗))=𝝍(\mathbf 0)=0$，

因此 $𝝋\in(\ker T)^0$，即得 $\operatorname{Im}T’\subseteq(\ker T)^0$．

又由 (1.) 有 $\dim\operatorname{Im}T’=\dim\operatorname{Im}T=\dim V-\dim\ker T=\dim(\ker T)^0$．

即得证了 $\operatorname{Im}T’=(\ker T)^0$．

■

〔定理 3.26〕：

设 $V,\;W$ 是有限维向量空间，$T\in\mathcal L(V,\,W)$，则 $T$ 是单射当且仅当 $T’$ 是满射．

〔证明〕：

$T$ 是单射 $\Leftrightarrow \ker T=\{\mathbf 0\}$ $\Leftrightarrow (\ker T)^0=V’=\operatorname{Im}T’$（Th. 3.25）$\Leftrightarrow$ $T’$ 是满射．

■

Transpositae Matricum 矩阵的转置

〔定义〕：

设矩阵 $𝑨,\;𝑩$，若 $𝑩$ 的元素满足 $B_{j,\,i}=A_{i,\,j}$，

则称 $𝑩$ 为 $𝑨$ 的转置（transpose），记为 $𝑨^{\mathsf T}$．

对任意矩阵 $𝑨,\;𝑪$，均有 $(𝑨𝑪)^{\mathsf T}=𝑪^{\mathsf T}𝑨^{\mathsf T}$，证明略．

〔定理 3.27〕：

设 $T\in\mathcal L(V,\,W)$，则 $\mathcal M(T’)=\mathcal M^{\mathsf T}(T)$⁽¹²⁾．

〔证明〕：

$𝑨:=\mathcal M(T’)$，$𝑪:=\mathcal M^{\mathsf T}(T)$．设 $1\leq j\leq m$，$1\leq k\leq n$．

设 $𝒗_1,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是 $V$ 的基，$𝝋_1,\,\cdots,\,𝝋_n$ 是其对偶基；$𝒘_1,\,\cdots,\,𝒘_m$ 是 $W$ 的基，$𝝍_1,\,\cdots,\,𝝍_m$ 是其对偶基．

由 $\mathcal M(T’)$ 的定义，有

$\displaystyle T’(𝝍_j)=𝝍_jT=\sum_{r=1}^n C_{r,j}𝝋_r$，

于是

$\displaystyle 𝝍_jT(𝒗_k)=\sum_{r=1}^n C_{r,j}𝝋_r(𝒗_k)=C_{k,j}$（根据对偶基的定义）．

又有

$\displaystyle 𝝍_jT(𝒗_k)=𝝍_j(T(𝒗_k))=𝝍_j\left(\sum_{r=1}^m A_{r,k}𝒘_r\right)$ $\displaystyle=\sum_{r=1}^m A_{r,k}𝝍_j(𝒘_r)=A_{j,k}$．

综上便得到 $A_{j,k}=C_{k,j}$，所以 $𝑪=𝑨^{\mathsf T}$．

■

Gradus Matricis 矩阵的秩

〔定义〕：

设 $𝑨\in\mathbb F^{m,n}$，则其各列向量生成空间的维数称为矩阵的列秩（column rank），各行向量生成空间的维数称为矩阵的行秩（row rank）．

线性变换的像的维度等于其对应矩阵的列秩．

〔定理 3.28〕：

对任一矩阵 $𝑨\in\mathbb F^{m,n}$，其行秩等于列秩．

〔证明〕：

记任一矩阵 $𝑴$ 的行秩和列秩分别为 $\mathrm{rr}(𝑴)$ 和 $\mathrm{cr}(𝑴)$．

设线性变换 $T:\mathbb F^{n,1}\to\mathbb F^{m,1},\quad 𝒙\mapsto 𝑨𝒙$，即 $\mathcal M(T)=𝑨$（基为标准基），于是

$\mathrm{cr}(𝑨)=\mathrm{cr}(\mathcal M(𝑨))=\dim\operatorname{Im}T$ $=\dim\operatorname{Im}T’=\mathrm{cr}(\mathcal M(T’))=\mathrm{cr}(𝑨^{\mathsf T})=\mathrm{rr}(𝑨)$．

■

由此，通常将行秩和列秩一并称为矩阵的秩（rank），矩阵 $𝑨$ 的秩记为 $\operatorname{rank}𝑨$．

Annotationes 注释

⁽¹⁾. 即对任意 $𝒂,\,𝒃\in V$，均有 $𝒂=𝒃\Rightarrow T(𝒂)=T(𝒃)$． ↩

⁽²⁾. 也可以从抽象代数的角度，以同态基本定理证明此定理．事实上，该定理是同态基本定理在线性空间上的表现形式． ↩

⁽³⁾. 列表的加法定义如：$(x_1,\,\cdots,\,x_n)+(y_1,\,\cdots,\,y_n):=(x_1+y_1,\,\cdots,\,x_n+y_n)$，数乘定义如：$k(x_1,\,\cdots,\,x_n):=(kx_1,\,\cdots,\,kx_n)$，其中 $k\in\mathbb F$． ↩

⁽⁴⁾. 以上两条说明 $\mathcal M$ 是从 $\mathcal L(V,\,W)$ 到 $\mathbb F^{m,n}$ 的线性变换． ↩

⁽⁵⁾. 言及“行（列）向量”的时候本质上是视之为一类特殊的矩阵，而这样的矩阵可以作为向量空间中向量的表记形式． ↩

⁽⁶⁾. 更详细而言，$T:V\to W,\quad 𝒗\mapsto\mathbf 0$． ↩

⁽⁷⁾. “线性算子”（linear operator）没有固定的定义，在不同的资料中会有所差异（并且常常作为“线性变换”的同义词）．此处采用《Linear Algebra Done Right》中的定义． ↩

⁽⁸⁾. 本质上即集合的直积（direct product）或称 Descartes 积（Cartesian product）． ↩

⁽⁹⁾. 英语中一般称作 $V$ mod $U$ 或 $V$ by $U$． ↩

⁽¹⁰⁾. 不难证明仿射子集是一个等价类，于是根据等价类的相关性质可立即得证． ↩

⁽¹¹⁾. $(ST)’𝝋=𝝋(ST)=(𝝋S)T=T’(𝝋S)=T’S’(𝝋)$，即得证． ↩

⁽¹²⁾. 对任意线性变换 $T$，定义简记 $\mathcal M^{\mathsf T}(T):=(\mathcal M(T))^{\mathsf T}$． ↩

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