De Algebra Lineari 02 // 线性代数笔记〇二：有限维向量空间

2021-08-26 Mathematica PV:

Coopertura 线性生成空间

〔定义〕：

向量列表 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$⁽¹⁾ 的线性组合（linear combination）是任一如下形式的向量：

$a_1𝒗_1+a_2𝒗_2+\cdots+a_n𝒗_n$，

其中 $a_i\in\mathbb F,\;\forall\;1\leq i\leq n$．

〔定义〕：

一组向量 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 的所有线性组合组成的集合，称为该向量组的线性生成空间（linear span）⁽²⁾或简称为生成空间（span），记为 $\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$．准确地说，

$\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n):=\{a_1𝒗_1+a_2𝒗_2+\cdots+a_n𝒗_n\mid a_i\in\mathbb F,\;\forall\;1\leq i\leq n\}$．

空列表的生成空间 $\mathrm{span}()$ 定义为 $\{\mathbf 0\}$．

〔定理 2.1〕：

向量空间 $V$ 的所有包含向量 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 的子空间之中，$\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$ 是最小者．

〔证明〕：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n\in V$．

由于 $\mathbf 0=0𝒗_1+0𝒗_2+\cdots+0𝒗_n\in \mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$，得知生成空间中包含加法单位元．不难验证 $\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$ 对加法与数乘的封闭性．于是得知 $\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$ 是 $V$ 的子空间．

显然 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n\in \mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$．反之，由加法与数乘的封闭性便得知所有包含 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 的子空间必然包含 $\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$．因此 $\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$ 是这些子空间中的最小者．

■

若 $\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)=V$，则称向量组 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 生成（span）$V$．

〔定义〕：

若向量空间中存在一组向量⁽³⁾生成该向量空间，则称之为有限维（finite-dimensional）的向量空间．不是有限维的向量空间称为无限维（infinite-dimensional）向量空间．

〔定义〕：

设函数 $p:\mathbb F\to\mathbb F$，若存在 $a_0,\,a_1,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb F$（称为系数），使得对于任一 $x\in\mathbb F$，均有

$p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n a_ix^i$，

则称 $p$ 为多项式（polynomial）．

系数属于 $\mathbb F$ 的所有多项式的集合记为 $\mathcal P(\mathbb F)$．

〔定义〕：

对于多项式 $p\in\mathcal P(\mathbb F)$，若存在 $a_0,\,a_1,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb F$，且 $a_n\neq 0$，使得对于任一 $x\in\mathbb F$，均有

$p(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^n a_ix^i$，

则称该多项式的次数（degree）为 $n$，并记作 $\deg p=n$．

常数函数 $p(x)=k\quad(k\in\mathbb F)$ 的次数为 $0$．
零函数 $p(x)=0$ 的次数定义为 $-\infty$．

〔记号〕：

对某一 $n\in\mathbb N$⁽⁴⁾，$\mathcal P_n(\mathbb F)$ 表示 $\mathcal P(\mathbb F)$ 中次数不超过 $n$ 的多项式的集合，即

$\mathcal P_n(\mathbb F):=\{p\in\mathcal P(\mathbb F)\mid \deg p\leq n\}$．

以 $x^i\quad(0\leq i\leq n)$ 表示对应的函数 $p(x)=x^i$，则 $\mathcal P_n(\mathbb F)=\mathrm{span}(1,\,x,\,x^2,\,\cdots,\,x^n)$．

Dependentia Linearis 线性相关性

〔定义〕：

向量空间 $V$ 中的向量组 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是线性无关（linearly independent）的，当且仅当对于 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb F$，仅在 $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ 时使得 $a_1𝒗_1+a_2𝒗_2+\cdots+a_n𝒗_n=\mathbf 0$ 成立．

空的向量列表视为线性无关的．

非线性无关的向量组称为线性相关（linearly dependent）的向量组．

〔定理 2.2〕线性相关性引理：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是向量空间 $V$ 中线性相关的向量组，则存在 $1\leq i\leq n$，使得以下命题成立：

$𝒗_i\in\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_{i-1})$；

从向量组中除去 $𝒗_i$，剩余部分的生成空间等于 $\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$．

〔证明〕：

由于向量组线性相关，因此存在不全为 $0$ 的 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb F$，使得

$a_1𝒗_1+a_2𝒗_2+\cdots+a_n𝒗_n=\mathbf 0$．

令 $i$ 为 $1\leq i\leq n$ 范围内使得 $a_i\neq 0$ 的最大值，从而

$𝒗_i=-\dfrac{a_1}{a_i}𝒗_1-\dfrac{a_2}{a_i}𝒗_2-\cdots-\dfrac{a_n}{a_i}𝒗_n$，（▲）

便证明了 (1.)．

设任一 $𝒖\in\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n)$，则存在 $c_1,\,c_2,\,\cdots,\,c_n\in\mathbb F$，使得

$𝒖=c_1𝒗_1+c_2𝒗_2+\cdots+c_n𝒗_n$，

将如上等式右侧中的 $𝒗_i$ 替换为（▲）等式右侧，从而 (2.) 得证．

■

〔定理 2.3〕：

有限维向量空间中，线性无关的向量列表（线性无关组）的长度，不大于生成该空间的向量列表（生成组）的长度．

〔证明〕：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m$ 是向量空间 $V$ 中的线性无关组，$𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 是生成组（称为 $B$），只需证 $m\leq n$．

第 $1$ 步：

将 $𝒗_1$ 加入向量组 $B$ 中，$𝒗_1$ 必然能表示为 $B$ 中其他向量的线性组合，故 $B:\;𝒗_1,\,𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 是线性相关的．由 Th. 2.2，将某一 $𝒘$ （$𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 中的某一向量）从 $B$ 中除去，仍然有 $\mathrm{span}(B)=V$．

第 $i$ 步：

按如下步骤重复：在第 $i$ 步时，将 $𝒗_i$ 加入 $B$ 中．由 Th. 2.2，$B$ 中某一向量在前一步所得 $B$ 的生成空间中，而由于 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m$ 线性无关，因此这一向量必然是 $𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 之一．将此向量除去，仍然有 $\mathrm{span}(B)=V$．

第 $m$ 步后，$𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m$ 已全部列于 $B$ 中，而每一步重复步骤中，由 Th. 2.2 都可得知 $B$ 中存在 $𝒘_k\quad(1\leq k\leq n)$，使得将此除去后保持 $\mathrm{span}(B)=V$ 成立．因此 $m\leq n$．

■

〔定理 2.4〕：

有限维向量空间的子空间均为有限维向量空间．

〔证明〕：

设 $U$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，需证 $U$ 是有限维向量空间．

第 $1$ 步：

若 $U=\{\mathbf 0\}$，则条件成立．否则，选择一非零向量 $𝒗_1\in U$．

第 $i$ 步：

按如下步骤重复：若 $U=\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_{i-1})$，则条件成立．否则，选择向量 $𝒗_i\in U\setminus\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_{i-1})$⁽⁵⁾．

每一步都可以得到一个线性无关的向量组 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_i$，而由 Th. 2.3.，该向量组的长度不能大于 $V$ 的生成组长度，从而 $U$ 是有限维向量空间．

■

Bases 基

〔定义〕：

向量空间 $V$ 的一个基底，或称基（basis）是 $V$ 中一个线性无关的生成组．基中所含向量称为基向量（basis vector）．

〔定理 2.5〕基的判定条件：

$V$ 中的向量组 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是 $V$ 的一个基，当且仅当任一 $𝒗\in V$ 均只能唯一地表示为

$𝒗=a_1𝒗_1+a_2𝒗_2+\cdots+a_n𝒗_n$，

其中 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb F$．

〔证明〕：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n=:B$ 是 $V$ 的一个基，令 $𝒗\in V$．由于 $V=\mathrm{span}(B)$，因此存在 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb F$，使得 $𝒗=a_1𝒗_1+a_2𝒗_2+\cdots+a_n𝒗_n$．又设存在 $c_1,\,c_2,\,\cdots,\,c_n\in\mathbb F$，使得 $𝒗=c_1𝒗_1+c_2𝒗_2+\cdots+c_n𝒗_n$．

联立二式，得 $(a_1-c_1)𝒗_1+(a_2-c_2)𝒗_2+\cdots+(a_n-c_n)𝒗_n=\mathbf 0$，即 $a_i=c_i,\;\forall\;1\leq i\leq n$．

反之，设任一向量 $𝒗\in V$ 对于 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb F$ 能唯一地表示为 $𝒗=a_1𝒗_1+a_2𝒗_2+\cdots+a_n𝒗_n$．由此可知 $V=\mathrm{span}(B)$．令 $c_1,\,c_2,\,\cdots,\,c_n\in\mathbb F$ 满足 $\mathbf 0=c_1𝒗_1+c_2𝒗_2+\cdots+c_n𝒗_n$，显然 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$ 时成立，而由唯一性可知向量组 $B$ 线性无关，因此 $B$ 是 $V$ 的一个基．

■

〔定理 2.6〕：

向量空间的任一生成组中均包含一个基，即将生成组的若干（或者 $0$ 个）向量除去，可以得到一个基．

〔证明〕：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n=:B$ 是向量空间 $V$ 的生成组．

第 $1$ 步：

若 $𝒗_1=\mathbf 0$，从 $B$ 中除去 $𝒗_1$．否则保持不变．

第 $i$ 步：

若 $𝒗_i\in\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_{i-1})$，从 $B$ 中除去 $𝒗_i$．否则保持不变．

由于每次除去的向量都是在先前步骤所得的 $B$ 的生成空间中，而原先的 $B$ 是 $V$ 的生成组，全过程保证了第 $n$ 步后所得的 $B$ 仍是 $V$ 的生成组，并且 $B$ 是线性无关的，因此 $B$ 是 $V$ 的基．

■

〔定理 2.7〕：

任一有限维向量空间均有至少一个基．

〔证明〕：

由定义，有限维向量空间必然有至少一个生成组，而由 Th. 2.6，除去该生成组的若干（或者 $0$ 个）向量即得一个基．

■

〔定理 2.8〕：

有限维向量空间中任一线性无关组，均能添加若干（或者 $0$ 个）向量，使之成为向量空间的一个基．

〔证明〕：

设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m$ 是有限维向量空间 $V$ 的一个线性无关组，$𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 是一个基．因此

$\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m,\,𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n)=V$，

由 Th. 2.6，可以将列表 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m,\,𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 中部分向量除去而使之成为一个基．由于 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m$ 线性无关，因此除去的向量必然在 $𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 之中．

■

〔定理 2.9〕：

设 $U$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，则存在 $V$ 的子空间 $W$ 使得 $V=U\oplus W$．

〔证明〕：

由于 $V$ 是有限维的，因此 $U$ 也是有限维的（Th. 2.4），因此存在 $𝒖_1,\,𝒖_2,\,\cdots,\,𝒖_m\in U$ 作为 $U$ 的一个基（Th. 2.7）．显然该向量组是 $V$ 中的线性无关组，因此将若干向量 $𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n\in V$ 添加到此向量组中，可以使之成为 $V$ 的一个基（Th. 2.8）．

令 $W:=\mathrm{span}(𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n)$．设 $𝒗\in V$，因此存在 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_m,\,b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_n\in\mathbb F$，使得

$𝒗=\underbrace{a_1𝒖_1+a_2𝒖_2+\cdots+a_m𝒖_m}_{𝒖}+\underbrace{b_1𝒘_1+b_2𝒘_2+\cdots+b_n𝒘_n}_{𝒘}$，

由于 $𝒖\in U$，$𝒘\in W$，因此 $𝒗=𝒖+𝒘\in (U+W)$，则 $V=U+W$．

设 $𝒛\in U\cap W$，则 $p_1,\,p_2,\,\cdots,\,p_m,\,q_1,\,q_2,\,\cdots,\,q_n\in\mathbb F$，使得

$𝒛=p_1𝒖_1+p_2𝒖_2+\cdots+p_m𝒖_m=q_1𝒘_1+q_2𝒘_2+\cdots+q_n𝒘_n$，

因此 $p_1𝒖_1+p_2𝒖_2+\cdots+p_m𝒖_m-q_1𝒘_1-q_2𝒘_2-\cdots-q_n𝒘_n=\mathbf 0$，

由于 $𝒖_1,\,𝒖_2,\,\cdots,\,𝒖_m,\,𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_n$ 线性无关，因此

$p_1=p_2=\cdots=p_m=q_1=q_2=\cdots=q_n=0$，

于是 $𝒛=\mathbf 0$，即 $U\cap W=\{\mathbf 0\}$．

因为 $V=U+W$ 且 $U\cap W=\{\mathbf 0\}$，因此 $V=U\oplus W$（Th. 1.7）．

■

Dimensio 维度

〔定理 2.10〕：

有限维向量空间中任意两个基的长度均相等．

〔证明〕：

设有限维向量空间 $V$，令向量组 $B_1$ 与 $B_2$ 为 $V$ 的两个基．$B_1$ 是线性无关的，而 $B_2$ 生成 $V$，因此 $B_1$ 的长度不大于 $B_2$（Th. 2.3）．同理可知 $B_2$ 的长度不大于 $B_1$，得证．

■

〔定义〕：

有限维向量空间 $V$ 中任一基的长度称为该向量空间的维度（dimension），记为 $\dim V$．

〔定理 2.11〕：

对有限维向量空间 $V$ 的任一子空间 $U$，恒有 $\dim U\leq \dim V$．

证明略．

〔定理 2.12〕：

有限维向量空间 $V$ 中任一长度为 $\dim V$ 的线性无关组均为其一个基．

〔证明〕：

设 $\dim V=:n$，向量组 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n\in V$ 是一个线性无关组．而 $V$ 中所有基的长度均为 $n$，由 Th. 2.8，长度为 $n$ 的线性无关组均能不添加任何向量而作为 $V$ 的基．

■

〔定理 2.13〕：

设 $U,\;W$ 是有限维向量空间的子空间，则有

$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$．

〔证明〕：

令 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m$ 为 $U\cap W$ 的一个基，则 $\dim(U\cap W)=m$，并且 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m$ 在 $U$ 中线性无关．于是选择若干向量 $𝒖_1,\,𝒖_2,\,\cdots,\,𝒖_i\in U$ 可以使得 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m, 𝒖_1,\,𝒖_2,\,\cdots,\,𝒖_i$ 是 $U$ 的一个基（Th. 2.8），从而 $\dim U=m+i$．同理可以选择若干向量 $𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_j\in W$，使得 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m, 𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_j$ 是 $W$ 的一个基，从而 $\dim W=m+j$．

记 $𝒗_1,\,\cdots,\,𝒗_m, 𝒖_1,,\,\cdots,\,𝒖_i,\,𝒘_1,\,\cdots,\,𝒘_j:=B$，显然 $\mathrm{span}(B)=U+W$．设存在 $a_1,\,\cdots,\,a_m,\,b_1,\,\cdots,\,b_i,\,c_1,\,\cdots,\,c_j\in\mathbb F$，使得

$a_1𝒗_1+\cdots+a_m𝒗_m+b_1𝒖_1+\cdots+b_i𝒖_i+c_1𝒘_1+\cdots+c_j𝒘_j=\mathbf 0$，（▲）

由此式有

$c_1𝒘_1+\cdots+c_j𝒘_j=-a_1𝒗_1-\cdots-a_m𝒗_m-b_1𝒖_1-\cdots-b_i𝒖_i$，

得知 $c_1𝒘_1+\cdots+c_j𝒘_j\in U$，而 $𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_j\in W$，因此 $c_1𝒘_1+\cdots+c_j𝒘_j\in U\cap W$．

由于 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m$ 是 $U\cap W$ 的基，因此存在 $d_1,\,\cdots,\,d_m$ 使得

$c_1𝒘_1+\cdots+c_j𝒘_j=d_1𝒗_1+\cdots+d_m𝒗_m$，

由于 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m,\,𝒘_1,\,𝒘_2,\,\cdots,\,𝒘_j$ 线性无关，因此由上式可推得 $c_1=\cdots=c_j=d_1=\cdots=d_m=0$．因此（▲）可化为

$a_1𝒗_1+\cdots+a_m𝒗_m+b_1𝒖_1+\cdots+b_i𝒖_i=\mathbf 0$，

由于 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_m, 𝒖_1,\,𝒖_2,\,\cdots,\,𝒖_i$ 线性无关，因此 $a_1=\cdots=a_m=b_1=\cdots=b_i=0$．

综上，$B$ 是 $U+W$ 中的线性无关组，因此 $B$ 是 $U+W$ 的基，于是 $\dim(U+W)=m+i+j$，得

$\begin{alignedat}{2}
&\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)\\
=\;&(m+i)+(m+j)-m\phantom{\frac00}\\
=\;&m+i+j\\
=\;&\dim(U+W).\phantom{\frac00}
\end{alignedat}$

■

Annotationes 注释

⁽¹⁾. 后文将向量的列表称为一组向量或一个向量组，并省略列表的括号．这种记法也表示向量的列举，比如 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n\in V$ 表示 $𝒗_1\in V,\;𝒗_2\in V,\;\cdots,\;𝒗_n\in V$，根据上下文可以分别． ↩

⁽²⁾. 也译为“张成空间”． ↩

⁽³⁾. 凡言及“列表”“向量组”等，均指有限长的情况． ↩

⁽⁴⁾. 依 ISO 以及中国国家标准定义，$\mathbb N=\{x\mid x\in\mathbb Z,\;x\geq 0\}$，即非负整数． ↩

⁽⁵⁾. $\setminus$ 表示集合的差． ↩

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