Praefatio 前言
本系列笔记的内容包括线性代数的进阶部分，以线性变换相关概念为主，而基础的线性代数内容在此不详言或直接略去．笔记内容基于 Axler Sheldon Jay 的《Linear Algebra Done Right》（引进版汉译：《线性代数应该这么学》），并参考其他资料．
本文仅仅是学习笔记，主要为整理书中内容并按个人理解稍作修改而成，限于学识而错误在所难免，望指正．
Tabula Symbolorum 符号表
| 符号 | 意义 |
|---|---|
| $\mathbb R,\,\mathbb C,\,\mathbb F$ | 实数域、复数域、数域 |
| $\mathbb N,\,\mathbb Z^+,\,\mathbb Z^-$ | 自然数集（含 $0$），正整数集，负整数集 |
| $\mathbb F^{\mathsf M}$ | 域 $\mathbb F$ 上的矩阵集合 |
| $\mathbb F^{m,n}$ | 域 $\mathbb F$ 上的 $m\times n$ 矩阵集合 |
| $\det 𝑨,\,\operatorname{rank} 𝑨$ | 矩阵 $𝑨$ 的行列式，矩阵 $𝑨$ 的秩 |
| $𝑨^{-1},\,𝑨^\mathsf{T},\,𝑨^\mathsf{H}$ | 矩阵 $𝑨$ 的逆，矩阵 $𝑨$ 的转置，矩阵 $𝑨$ 的共轭转置 |
| $\mathrm{diag}(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n)$ | 对角元为 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n$ 的对角矩阵 |
| $𝑰,\,𝑰_n$ | （$n$ 阶）单位矩阵 |
| $𝑶,\,𝑶_n$ | （$n$ 阶）零矩阵 |
| $\mathbf 0,\,\mathbf 0_n$ | （$n$ 维）零向量 |
| $\langle𝒖,\,𝒗\rangle$ | 向量 $𝒖$ 与 $𝒗$ 的内积 |
| $V_n$ | $n$ 维线性空间 |
| $\dim V$ | 线性空间 $V$ 的维度 |
| $(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n)$ | 元素为 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n$ 的列表 |
| $\mathfrak R(z),\,\mathfrak I(z)$ | 复数 $z$ 的实部，虚部 |
| $\overline z$ | 复数 $z$ 的共轭 |
Spatia Vectoriale 向量空间
〔定义〕：
集合 $V$ 上的加法（addition）是一个由 $V\times V$ 到 $V$ 的映射，记作 $a+b\quad(a,\,b\in V)$．
集合 $V$ 上的数乘（scalar multiplication）是一个由 $\mathbb F\times V$ 到 $V$ 的映射，记作 $ka$ 或 $k\cdot a\quad(k\in\mathbb F,\;a\in V)$．
〔定义〕：
带有加法以及数乘的集合 $V$，若满足以下条件，则称为向量空间（vector space）或线性空间（linear space）：
- 加法交换律：$\forall\;𝒖,\,𝒗\in V,\quad 𝒖+𝒗=𝒗+𝒖$；(1)
- 加法结合律：$\forall\;𝒖,\,𝒗,\,𝒘\in V,\quad (𝒖+𝒗)+𝒘=𝒖+(𝒗+𝒘)$；
- 加法单位元：$\exists\;\mathbf 0\in V,\quad\forall\;𝒗\in V,\quad 𝒗+\mathbf 0=𝒗$；
- 加法逆元：$\forall\;𝒗\in V,\quad\exists\;(-𝒗)\in V,\quad 𝒗+(-𝒗)=\mathbf 0$；(2)
- 乘法单位元：$\forall\;𝒗\in V,\quad 1𝒗=𝒗$；(3)
- 分配律Ⅰ ：$\forall\;a,\,b\in \mathbb F,\;𝒗\in V,\quad(a+b)𝒗=a𝒗+b𝒗$；
- 分配律Ⅱ：$\forall\;k\in\mathbb F,\;𝒖,\,𝒗\in V,\quad k(𝒖+𝒗)=k𝒖+k𝒗$．(4)
- 若向量空间 $V$ 的数乘运算是一个由 $\mathbb F\times V$ 到 $V$ 的映射，则称 $V$ 是域 $\mathbb F$ 上的向量空间．$\mathbb R$ 上的向量空间称为实向量空间（real vector space），$\mathbb C$ 上的向量空间称为复向量空间（complex vector space）．
由此，将常规意义的“向量”一概念的定义扩展如下：
〔定义〕：
向量空间的元素称为向量（vector）或点（point）．
后文所言“向量”均依照此意义．
〔记号〕：
$\mathbb F$ 上所有长度为 $n$ 的列表的集合记为 $\mathbb F^n$：
$\mathbb F^n:=\{(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n)\mid a_i\in\mathbb F,\;\forall\;1\leq i\leq n\}$．
列表中的第 $i$ 个元素 $a_i$ 称为该列表的第 $i$ 坐标（$i$-th coordinate）或第 $i$ 分量（$i$-th component）．
- 对任一正整数 $n$，$\mathbb F^n$ 均为向量空间．
- $\mathbb F$ 上所有无限长的序列的集合记为 $\mathbb F^\infty$，亦为向量空间．
〔记号〕：
设 $S$ 是一个集合，所有由 $S$ 到 $\mathbb F$ 的一元映射之集合记为 $\mathbb F^S$．
定义 $\mathbb F^S$ 上的加法：
$\forall\;f,\,g\in\mathbb F^S,\;x\in S,\quad (f+g)(x):=f(x)+g(x)$；
定义 $\mathbb F^S$ 上的数乘：
$\forall\;f\in\mathbb F^S,\;k\in\mathbb F,\;x\in S,\quad (kf)(x):=k(f(x))$．
- 对任一非空集合 $S$，$\mathbb F^S$ 均为向量空间．
〔定理 1.1〕：
向量空间的加法单位元唯一；
向量空间中任一元素的加法逆元唯一．
证明可由群的相关性质得出，略．
〔定理 1.2〕：
对向量空间 $V$ 中的任一向量 $𝒗$，均有 $0𝒗=0$．
〔证明〕：
由加法单位元的性质以及分配律，
$0𝒗=(0+0)𝒗=0𝒗+0𝒗$，
从而得 $0𝒗=0$．
■
〔定理 1.3〕：
对任一 $a\in\mathbb F$，均有 $a\mathbf 0=\mathbf 0$．
〔证明〕：
由加法单位元的性质以及分配律，
$a\mathbf 0=a(\mathbf 0+\mathbf 0)=a\mathbf 0+a\mathbf 0$，
从而得 $a\mathbf 0=\mathbf 0$．
■
Subspatia 子空间
〔定义〕：
设 $V$ 是向量空间，$U\subseteq V$，若 $U$ 在与 $V$ 相同的加法与数乘下亦为向量空间，则称 $U$ 是 $V$ 的子空间（subspace）或线性子空间（linear subspace）．
〔例〕：
$\mathbb R^3$ 的子空间包括了 $\mathbb R^3$ 自身、$\mathbb R^3$ 中的所有过原点的平面、所有过原点的直线以及 $\{\mathbf 0\}$（原点）．
〔定理 1.4〕子空间判定条件：
向量空间 $V$ 的子集 $U$ 是 $V$ 的子空间，当且仅当以下条件成立：
- 存在加法单位元：$\mathbf 0\in U$；
- 对加法封闭：$\forall\;𝒖,\,𝒗\in U,\quad 𝒖+𝒗\in U$；
- 对数乘封闭：$\forall\;𝒗\in U,\;k\in\mathbb F,\quad k𝒗\in U$．
证明略．
〔定义〕：
设 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子集，这些子集的和（sum）是各子集选取一个元素所求得的和的集合，记作 $U_1+U_2+\cdots+U_n$．准确地说，
$U_1+U_2+\cdots+U_n:=\{u_1+u_2+\cdots+u_n\mid u_i\in U_i,\;\forall\;1\leq i\leq n\}$．
〔例〕：
设 $U=\{(x,\,0,\,0)\in\mathbb F^3\mid x\in\mathbb F\}$，$W=\{(0,\,y,\,0)\in\mathbb F^3\mid y\in\mathbb F\}$，则 $U,\;W$ 均为 $\mathbb F^3$ 的子集（三维空间沿 $x$ 轴、$y$ 轴的直线）．则 $U+W=\{(x,\,y,\,0)\in\mathbb F^3\mid x,\,y\in\mathbb F\}$（三维空间中过 $x$ 轴、$y$ 轴的平面）．
〔定理 1.5〕：
设 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子空间，则 $U_1+U_2+\cdots+U_n$ 是 $V$ 的子空间中包含 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n$ 的最小者．
〔证明〕：
由 Th. 1.4，不难证明 $U_1+U_2+\cdots+U_n$ 是 $V$ 的子空间．
显然 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n\subseteq (U_1+U_2+\cdots+U_n)$．反之，$V$ 的包含 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n$ 的子空间必然包含 $U_1+U_2+\cdots+U_n$．从而 $U_1+U_2+\cdots+U_n$ 是 $V$ 的子空间中包含 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n$ 的最小者．
■
〔定义〕：
设 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子空间，若 $U_1+U_2+\cdots+U_n$ 的任一元素仅能唯一地记为 $u_1+u_2+\cdots+u_n$（其中 $u_i\in U_i,\;\forall\;1\leq i\leq n$），则称 $U_1+U_2+\cdots+U_n$ 为直和（direct sum），并记作 $U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_n$．
〔定理 1.6〕直和判定条件：
设 $U_1,\,U_2,\,\cdots,\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子空间，$U_1+U_2+\cdots+U_n$ 是直和，当且仅当 $\mathbf 0$ 仅能唯一地记为 $u_1+u_2+\cdots+u_n$（其中 $u_i\in U_i,\;u_i=\mathbf 0,\;\forall\;1\leq i\leq n$）．
〔证明〕：
设 $U_1+U_2+\cdots+U_n$ 是直和，则由直和的定义，显然可知 $\mathbf 0$ 仅能唯一地记为 $u_1+u_2+\cdots+u_n$（其中 $u_i\in U_i,\;u_i=\mathbf 0,\;\forall\;1\leq i\leq n$）．
反之，设 $\mathbf 0$ 仅能唯一地记为 $u_1+u_2+\cdots+u_n$（其中 $u_i\in U_i,\;u_i=\mathbf 0,\;\forall\;1\leq i\leq n$），令 $𝒗\in (U_1+U_2+\cdots+U_n)$，选取 $u_i\in U_i,\;\forall\;1\leq i\leq n$，使得
$𝒗=u_1+u_2+\cdots+u_n$，
再选取 $v_i\in U_i,\;\forall\;1\leq i\leq n$，使得
$𝒗=v_1+v_2+\cdots+v_n$，
联立得 $\mathbf 0=(u_1-v_1)+(u_2-v_2)+\cdots+(u_n-v_n)$，便得 $u_i=v_i,\;\forall\;1\leq i\leq n$．
■
〔定理 1.7〕：
设 $U,\;W$ 是向量空间 $V$ 的子空间，则 $U+W$ 是直和，当且仅当 $U\cap W=\{\mathbf 0\}$．
〔证明〕：
设 $U+W$ 是直和，又设任一 $𝒗\in U\cap W$，则 $\mathbf 0=𝒗+(-𝒗)$，于是有 $𝒗\in U$，$-𝒗\in W$．由直和的唯一性可知 $𝒗=\mathbf 0$，于是 $U\cap W=\{\mathbf 0\}$ 得证．
反之，设 $U\cap W=\{\mathbf 0\}$，$𝒖\in U$，$𝒘\in W$，并且 $\mathbf 0=𝒖+𝒘$，由此又有 $𝒖=-𝒘$，从而 $𝒖\in U\cap W$，进而 $𝒖=\mathbf 0$．同理，得 $𝒘=\mathbf 0$．得证 $U+W$ 是直和（Th. 1.6）．
■
Annotationes 注释
(1). 虽然此处使用向量的记法，但集合 $V$ 的元素并不一定是常规意义的“向量”． ↩
(2). 以上四条可概括为 $V$ 关于加法形成 Abel 群． ↩
(3). $1$ 指 $\mathbb F$ 中的乘法单位元． ↩
(4). 一些资料还会将“数乘与域乘法的相容性（compatibility）”一条置于此列，即 $\forall\;a,\,b\in \mathbb F,\;𝒗\in V,\quad(ab)𝒗=a(b𝒗)$，而另一些资料默认此性质成立． ↩
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