Valores Proprii & Vectores Proprii
特征值与特征向量
〔定义〕：
设 $T\in\mathcal L(V)$，若 $V$ 的子空间 $U$ 满足 $𝒖\in U\Rightarrow T(𝒖)\in U$，则称 $U$ 为 $V$ 对于 $T$ 的不变子空间（invariant subspace）．
- 对任一向量空间 $V$，子空间 $\{\mathbf 0\},\;V,\;\ker T,\;\operatorname{Im} T$ 均为 $V$ 对于 $T$ 的不变子空间．
〔定义〕：
设 $T\in\mathcal L(V)$，对于 $\lambda\in\mathbb F$，若存在 $\mathbf 0\neq 𝒗\in V$ 使得 $T(𝒗)=\lambda𝒗$，则称 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值（eigenvalue）．
此时满足 $T(𝒗)=\lambda 𝒗$ 的非零向量 $𝒗\in V$ 称为 $T$ 关于特征值 $\lambda$ 的特征向量（eigenvector）．
- 易证，以下命题等价：
- $\lambda\in\mathbb F$ 是 $T$ 的特征值；
- $T-\lambda I$ 不是单射；
- $T-\lambda I$ 不是满射；
- $T-\lambda I$ 不可逆．
〔定理 5.1〕：
设 $T\in\mathcal L(V)$，设 $\lambda_1,\,\lambda_2,\,\cdots,\,\lambda_n\in\mathbb F$ 是 $T$ 的相异特征值，$𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n\in V$ 是分别对应的特征向量，则 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 线性无关．
〔证明〕：
设 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 线性相关，由线性相关性引理，可以令 $k$ 是满足以下条件的最小正整数：
$𝒗_k\in\mathrm{span}(𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_{k-1})$，
且 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_{k-1}$ 线性无关，
则可以设 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_{k-1}\in\mathbb F$，使得
$𝒗_k=a_1𝒗_1+a_2𝒗_2+\cdots+a_{k-1}𝒗_{k-1}$ （▲），
对两侧应用变换 $T$，则有
$\lambda_k𝒗_k=a_1\lambda_1𝒗_1+a_2\lambda_2𝒗_2+\cdots+a_{k-1}\lambda_{k-1}𝒗_{k-1}$，
由（▲）又有
$\lambda_k𝒗_k=a_1\lambda_k𝒗_1+a_2\lambda_k𝒗_2+\cdots+a_{k-1}\lambda_k𝒗_{k-1}$，
上述二式作差，得
$\mathbf 0=a_1(\lambda_k-\lambda_1)𝒗_1+a_2(\lambda_k-\lambda_2)𝒗_2+\cdots+a_{k-1}\lambda_{k-1}𝒗_{k-1}$，
$𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_{k-1}$ 线性无关，而 $\lambda_1\neq \lambda_2\neq\cdots\neq \lambda_k$，因此 $a_1=a_2=\cdots=a_{k-1}=0$．
这意味着 $𝒗_k=\mathbf 0$，与特征向量的前提矛盾，得证 $𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 线性无关．
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〔定理 5.2〕：
设 $V$ 是有限维向量空间，则 $V$ 中的任一算子 $T\in\mathcal L(V)$ 有至多 $\dim V$ 个相异的特征值．
〔证明〕：
设 $\lambda_1,\,\lambda_2,\,\cdots,\,\lambda_n\in\mathbb F$ 是 $T$ 的相异特征值，$𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是对应的特征向量．
由 Th. 5.1，$𝒗_1,\,𝒗_2,\,\cdots,\,𝒗_n$ 是线性无关组，因此 $n\leq \dim V$，得证．
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〔定义〕：
设 $T\in\mathcal L(V)$，$U$ 是 $V$ 对于 $T$ 的不变子空间．
限制算子（restriction operator）是将任意 $𝒖\in U$ 映射为 $T(𝒖)$ 的算子，记为 $T|_U$：
$\forall\;𝒖\in U,\quad T|_U(𝒖)=T(𝒖)$．$T|_U$ 是 $U$ 中的算子．
商算子（quotient operator）是将 $V$ 的任一仿射子集 $𝒗+U\;(𝒗\in V)$ 映射为 $T(𝒗)+U$ 的算子，记为 $T/U$：
$\forall\;𝒗\in V,\quad (T/U)(𝒗+U)=T(𝒗)+U$．$T/U$ 是 $V/U$ 中的算子．
〔定义〕：
设 $T\in\mathcal L(V)$，$m\in\mathbb Z^+$．
- $T^m:=T\cdots T$（$m$ 个 $T$ 的积）；
- $T^0:=I$（恒等映射）；
- 若 $T$ 可逆，$T^{-m}:=(T^{-1})^m$．
- $\forall\;m,\,n\in\mathbb Z^+,\quad T^{m+n}=T^mT^n,\;T^{mn}=(T^m)^n$．
〔定义〕：
设 $T\in\mathcal L(V)$，$p\in\mathcal P(\mathbb F)$ 是如下的多项式：
$p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=\displaystyle\sum_{i=0}^na_ix^i$，
其中 $a_0,\,a_1,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb F$，$n\in\mathbb N$．
则定义算子 $p(T):=a_0I+a_1T+\cdots+a_nT^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n a_iT^i$．
〔定义〕：
设 $p,\,q\in\mathcal P(\mathbb F)$，则多项式的积 $pq$ 是满足以下定义的多项式：
$\forall\;x\in\mathbb F,\,\quad (pq)(x)=p(x)q(x)$．
〔定理 5.3〕：
设 $p,\,q\in\mathcal P(\mathbb F)$，$T\in\mathcal L(V)$，则
- $(pq)(T)=p(T)q(T)$；
- $p(T)q(T)=q(T)p(T)$．
证明略．
〔定理 5.4〕：
有限维非零复空间 $V$ 上的任一算子 $T\in\mathcal L(V)$ 均有至少一个特征值．
〔证明〕：
$n:=\dim V$．
设 $\mathbf 0\neq𝒗\in V$，则向量组 $𝒗,\,T(𝒗),\,T^2(𝒗),\cdots,\,T^n(𝒗)$ 线性相关．于是存在不全为 $0$ 的 $a_0,\,a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n\in\mathbb C$，使得
$a_0𝒗+a_1T(𝒗)+a_2T^2(𝒗)+\cdots+a_nT^n(𝒗)=\mathbf 0$．
其中 $a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n$ 不全为 $0$，否则会得到 $a_0𝒗=\mathbf 0$，即有 $a_0=0$，与前提矛盾．
考虑关于 $x$ 的如下多项式，并可知其因式分解：
$a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=c(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m)$，
其中 $\lambda_1,\,\cdots,\,\lambda_m\in\mathbb C$，$0\neq c\in\mathbb C$（$m$ 不一定等于 $n$，因为 $a_n$ 可能等于 $0$）．
于是有
$\mathbf 0=\displaystyle\sum_{i=0}^m a_iT^i𝒗=\left(\sum_{i=0}^m a_iT^i\right)𝒗=c(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)(𝒗)$，
因此存在 $\lambda_i\in\{\lambda_1,\,\cdots,\,\lambda_m\}$，使得 $T-\lambda_iI$ 不是单射，此时 $T$ 存在特征值 $\lambda_i$．
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